定积分

定积分　　　dìng jī fēn

设f(x)是定义于闭区间[a,b]的函数，将[a,b]任意划分为n个子区间[x₀,x₁]，[x₁,x₂]，…，[x_n-1,x_n]，x₀=a,x_n=b，其长度分别为Δx₁，Δx₂，…，Δx_n，并在每个子区间中任取一点c_i，作和式f(c_i)Δx_i。当最大的Δx_i趋于零时，如果上述和式的极限存在，并且这一极限与[a,b]的划分无关，又与c_i在[x_i-1,x_i]内的选取无关，则称这极限为f(x)在[a,b]上的定积分或黎曼积分，记作∫^b_af(x)dx。a、b分别称为积分的下限和上限，又称f(x)在[a,b]可积（黎曼可积）。闭区间上的连续函数必可积。特别当f(x)≥0时，它表示曲线y=f(x)和三直线y=0,x=a,x=b所围成的面积（如图）。又当f(x)表示质点作直线运动的速度时，上述定积分表示这个质点从时刻a到时刻b运动所经的距离。设f(x)在[a,b]上连续，F(x)是f(x)的任意一个^*原函数，则

∫^b_af(x)dx=F(b)－F(a)，

这是计算定积分的“牛顿-莱布尼茨公式”，亦称“微积分基本定理”。