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卷三十二 志第八

  曆二  

  大統曆法一上法原

  造曆者各有本原,史宜備錄,使後世有以考。如太初之起數鍾律,大衍之造端蓍策,皆詳本志。授時曆以測驗算術為宗,惟求合天,不牽合律呂、卦爻。然其法之所以立,數之所從出,以及晷影、星度,皆有全書。郭守敬、齊履謙傳中,有書名可考。元史漫無采摭,僅存李謙之議錄、曆經之初稿。其後改三應率及立成之數,與夫割圓弧矢之法,平立定三差之原,盡削不載。使作者精意湮沒,識者憾焉。今據大統曆通軌及曆草諸書,稍為編次,首法原,次立成,次推步。而法原之目七:曰句股測望,曰弧矢割圓,曰黃赤道差,曰黃赤道內外度,曰白道交周,曰日月五星平立定三差,曰里差刻漏。

  句股測望

  北京立四丈表,冬至日午正,測得景長七丈九尺八寸五分。隨以簡儀測到太陽南至地平二十六度四十六分半,為半弧背。求得矢度,五度九十一分半。置周天半徑,截矢餘五十四度九十六分為股,乃本地去戴日下之度。以弦股別句術,求得句二十六度一十七分六十六秒,為日出地半弧弦。

  北京立四丈表,夏至日午正,測得景長一丈一尺七寸一分。隨以簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半,為半弧背。求得矢度,四十三度七十四分少。置周天半徑,截矢餘一十七度一十三分二十五秒為句,乃本地去戴日下之度。以句弦別股術,求得股五十八度四十五分半,為日出地半弧弦。

  以二至日度相併,得一百度七十三分,折半得五十度三十六分半,為北京赤道出地度。以赤道出地度轉減周天四之一,餘四十度九十四分九十三秒七十五微,為北京北極出地度。

  弧矢割圓

  周天徑一百二十一度七十五分少。[少不用。]

  半徑六十○度八十七分半。[又為黃赤道大弦。]

  二至黃赤道內外半弧背二十四度。[所測就整。]

  二至黃赤道弧矢四度八十四分八十二秒。 

  黃赤道大句二十三度八十分七十秒。 

  黃赤道大股五十六度○二分六十八秒。[半徑內減去矢度之數。]

  割圓求矢術 置半弧背度自之,為半弧背羃,周天徑自之,為上廉。 上廉乘半弧背羃,為正實。 上廉乘徑,為益從方。 半弧背倍之,乘徑,為下廉。 以初商乘上廉,得數以減益從方,餘為從方。 置初商自之以減下廉,餘以初商乘之,為從廉。 從方、從廉相並,為下法。 下法乘初商,以減正實,實不足減,改初商。實有不盡,次第商除之。 倍初商數,與次商相並以乘上廉,得數以減益從方,餘為從方。 并初商次商而自之,又以初商自之,並二數以減下廉,餘以初商倍數並次商乘之,為從廉。 從方、從廉相並,為下法。 下法乘次商,以減餘實,而定次商。有不盡者,如法商之,皆以商得數為矢度之數。[黃赤道同用。]

  如以半弧背一度求矢度。 術曰:置半弧背一度自之,得一度,為半弧背羃。 置周天徑一百二十一度太自之,得一萬四千八百二十三度○六分二十五秒,為上廉。 上廉乘半弧背羃,得一萬四千八百二十三度○六分二五,為正實。 上廉又乘徑,得一百八十○萬四千七百○七度八十五分九十三秒七五,為益從方。 半弧背一度倍之,得二度,以乘徑得二百四十三度五十分,為下廉。 初商八十秒。 置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五,得一百一十八度五八四五,以減益從方一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五,餘一百八十○萬四千五百八十九度二七四八七五,為從方。 又置初商八十秒自之,得六十四微,以減下廉,餘二百四十三度四九九九三六。仍以八十秒乘之,得一度九四七九九九四八八,為從廉。 以從廉、從方並之,共得一百八十○萬四千五百九十一度二二二八七四四八八,為下法。 下法乘初商,得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九○四,以減正實,餘實三百八十六度三十三分二七一七○○四○九六。 次商二秒。置初商八十秒倍之,得一分六十秒。加次商二秒,得一分六十二秒,乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五,得二百四十○度一三三六一二五,以減益從方,餘一百八十○萬四千四百六十七度七二五七六二五,為從方。 又置初次商八十二秒自之,得六十七微。加初商八十秒自之之數,得一秒三十一微,以減下廉,餘二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之,得三度九十四分四六九七八七七八,為從廉。 以從廉、從方並,得一百八十○萬四千四百七十一度六十七分○四六○三七七八,為下法。 下法乘次商,得三百六十○度八九四三三四○九二○七五五六,以減餘實,仍餘二十五度四三八三八二九一二○二○四四。[不足一秒棄不用,下同。]

  凡求得矢度八十二秒,餘度各如上法,求到矢度,以為黃赤相求及其內外度之根。[數詳後。]

  黃赤道差

  求黃道各度下赤道積度術。 置周天半徑內減去黃道矢度,餘為黃赤道小弦。 置黃赤道小弦,以黃赤道大股乘之[大股見割圓]為實。 黃赤道大弦[半徑]為法。實如法而一,為黃赤道小股。 置黃道矢自乘為實,以周天全徑為法,實如法而一,為黃道半背弦差。 以差去減黃道積度,[即黃道半弧背。]餘為黃道半弧弦。 置黃道半弧弦自之為股羃,黃赤道小股自之為句羃,二羃並之,以開平方法除之,為赤道小弦。 置黃道半弧弦,以周天半徑[亦為赤道大弦]乘之為實,以赤道小弦為法而一,為赤道半弧弦。 置黃赤道小股,[亦為赤道橫小句。]以赤道大弦[即半徑]乘之為實,以赤道小弦為法而一,為赤道橫大句,以減半徑,餘為赤道橫弧矢。橫弧矢自之為實,以全徑為法而一,為赤道半背弦差。 以差加赤道半弧弦,為赤道積度。

  如黃道半弧背一度,求赤道積度。 術曰:置半徑六十○度八十七分五十秒,[即黃赤道大弦。]內減黃道矢八十二秒餘六十○度八六六八,為黃赤道小弦。 置黃赤道小弦,以黃赤道大股五十六度○二六八乘之,得三千四百一十○度一七二○三○二四為實,以黃赤道大弦六十○度八七五為法,實如法而一,得五十六度○一分九十二秒,為黃赤道小股。[又為赤道小句。] 置矢度八十二秒自之,得六十七微,以全徑一百二十一度七五為法,除之得五十五纖,為黃道半背弦差。 置黃道半弧背一度,內減黃道半背弦差,餘為半弧弦,因差在微以下不減,即用一度為半弧弦。 置黃道半弧弦一度自之,得一度為股羃。黃赤道小股五十六度○一九二自之,得三千一百三十八度一五○七六八六四為句羃。二羃並得三千一百三十九度一五○七六八六四為弦實,平方開之,得五十六度○二八一,為赤道小弦。 置黃道半弧弦一度,以半徑[即赤道大弦]乘之,得六十○度八七五為實,以赤道小弦五十六度○二八一為法除之,得一度○八分六十五秒,為赤道半弧弦。 置黃赤道小股五十六度○一九二,[又為赤道小句。]以赤道大弦[半徑]六十○度八七五乘之,得三千四百一十○度一六八八為實,以赤道小弦為法除之,得六十○度八十六分五十三秒,為赤道橫大句。 置半徑六十○度八十七分五十秒,內減赤道大句六十○度八十六分五十三秒,餘九十七秒,為赤道橫弧矢。 置赤道橫弧矢九十七秒自之,得九十四微○九,以全徑為法除之,得七十七纖,為赤道背弦差。 置赤道半弧弦一度○八分六十五秒,加赤道背弦差,為赤道積度,今差在微已下不加,即用半弧弦為積度。

  凡求得赤道積度一度○八分六十五秒。餘度各如上法,求到各黃道度下赤道積度,兩數相減,即得黃赤道差,乃至後之率。其分後,以赤道度求黃道,反此求之,其數並同。

黃赤道相求弧矢諸率立成上

至後黃分後赤道積度
黃道矢度
黃道矢差
黃道半弧弦,又為赤道小股
黃赤道小股,又為赤道小句
赤道小弦

十度十分
十度十分十秒
十度十分十秒
十度十分十秒
十度十分十秒
十度十分十秒

 初
 
 
 
 
 

 一
  八二
  ○二四六
 一○○○○
五六○一九二
五六○二八一

 二
  ○三二八
  ○四一一
 二○○○○
五五九九六六
  ○三二三

 三
  ○七三九
  ○五七六
 二九九九九
  九五八八
  ○三九一

 四
  一三一五
  ○七四一
 三九九九九
  九○五八
  ○四八七

 五
  二○五六
  ○九○七
 四九九九七
  八三七六
  ○六一○

 六
  二九六三
  一○七三
 五九九九三
  七五四一
  ○七五九

 七
  四○三六
  一二四○
 六九九八七
  六五五三
  ○九三六

 八
  五二七六
  一四○八
 七九九七七
  五四一二
  一一四○

 九
  六六八四
  一五七六
 八九九六三
  四一一六
  一三七一

一○
  八二六○
  一七四五
 九九九四四
  二六六六
  一六三○

 一
 一○○○五
  一九一六
一○九九一八
  一○六○
  一九一五

 二
  一九二一
  二○八七
一一九八八三
五四九二九六
  二二二六

 三
  四○○八
  二二五八
一二九八三九
  七三七五
  二五六五

 四
  六二六六
  二四三○
一三九七八三
  五二九七
  二九二八

 五
  八六九六
  二六○五
一四九七一三
  三○六一
  三三二○

 六
 二一三○一
  二七七九
一五九六二八
  ○六六三
  三七三五

 七
  四○八○
  二九五五
一六九五二四
五三八一○六
  四一七八

 八
  七○三五
  三一三○
一七九四○○
  五三八九
  四六四四

 九
 三○一六五
  三三○七
一八九二五三
  二五○五
  五一三五

二○
  三四七二
  三四八五
一九九○八○
五二九四六二
  五六五二

 一
  六九五七
  三六六三
二○八八七八
  六二五四
  六一九二

 二
 四○六二○
  三八四二
二一八六四五
  二八八二
  六七五六

 三
  四四六二
  四○二○
二二八三七六
五一九二四七
  七三四二

 四
  八四八二
  四二○○
二三八○七○
  五六四七
  七九五二

 五
 五二六八二
  四三七九
二四七七二一
  一七八一
  八五八二

 六
  七○六一
  四五五九
二五七三二六
五○七七五一
  九二三四

 七
 六一六二○
  四七三八
二六六八八一
  三五五五
  九九○六

 八
  六三五八
  四九一七
二七六三八二
四九九二九九
五七○五九九

 九
 七一二七五
  五○九五
二八五八二八
  四六六九
  一三一○

三○
  六三七○
  五二七三
二九五二一○
四八九九八○
  二○三九

 一
 八一六四三
  五四五○
三○四五三五
  五一二七
  二七八六

 二
  七○九三
  五六二六
三一三七六○
  ○一一一
  三五四九

 三
 九二七一九
  五八○一
三二二九三九
四七四五三三
  四三二六

 四
  八五二○
  五九七四
三三二○二八
四六九五九四
  五一一八

 五
一○四四九四
  六一四五
三四一○三二
  四○九六
  五九二三

 六
一一○六三九
  六三一四
  九九四六
四五八四四○
  六七四○

 七
  六九五三
  六四八一
三五八七六六
  二六二九
  七五六九

 八
一二三四三四
  六六四七
三六七四八六
四四六六六四
  八四○七

 九
一三○○八一
  六八○八
三七六一○二
  ○五四七
  九二五二

四○
  六八八九
  六九六七
三八四六○九
四三四二八二
五八○一○七

 一
一四三八五六
  七一二四
三九三○○三
四二七八六九
  ○九六七

 二
一五○九八○
  七二七六
四○一二六七
  一三一二
  一八三一

 三
  八二五六
  七四二六
  九四二九
四一四六一六
  二六九九

 四
一六五六八二
  七五七一
四一七四五四
四○七七八二
  三五六九

 五
一七三二五三
  七七一二
四二五三四六
  ○八二二
  四四四○

 六
一八○九六五
  七八五○
四三三一○二
三九三七一五
  五三一一

 七
一八八八一五
  七九八四
四四○七一八
三八六四九○
  六一八○

 八
一九六七九九
  八一一二
  八一八九
三七九一四三
  七○四五

 九
二○四九一一
  八二三七
四五五五一三
三七一六七六
  七九○七

五○
二一三一四八
  八三五七
四六二六八四
三六四○九五
  八七六三

 一
二二一五○五
  八四七二
  九七○一
三五六四○四
  九六一二

 二
  九九七七
  八五八三
四七六五五九
三四八六○七
五九○四五三

 三
二三八五六○
  八六八八
四八三二五六
  ○七○七
  一二八五

 四
二四七二四八
  八七八九
  九七八九
三三二七一一
  二一○六

 五
二五六○三七
  八八八五
四九六一五六
三二四六二二
  二九一七

 六
二六四九二二
  八九七七
五○二三五四
三一六四四五
  三七一四

 七
二七三八九九
  九○六三
  八三八二
三○八一八三
  四四九九

 八
 八二九六二
  九一四四
五一四二三六
二九九八四一
  五二六七

 九
二九二一○六
  九二二二
  九九一七
  一四二六
  六○二二

六○
三○一三二八
  九二九四
五二五四二二
二八二九三八
  六七六○

 一
三一○六二二
  九三六一
五三○七五一
二七四三八四
  七四八一

 二
  九九八三
  九四二六
  五九○二
二六五七六九
  八一八四

 三
三二九四○九
  九四八五
五四○八七五
二五七○九四
  八八六八

 四
三三八八九四
  九五三八
  五六六八
二四八三六四
  九五三二

 五
三四八四三二
  九五九○
五五○二八四
二三九五八六
六○○一七八

 六
三五八○二二
  九六三八
  四七一九
  ○七五九
  ○八○二

 七
三六七六六○
  九六八一
  八九七四
二二一八八九
  一四○四

 八
三七七三四一
  九七一九
五六三○五○
二一二九七九
  一九八四

 九
三八七○六○
  九七五六
  六九四八
二○四○三四
  二五四四

七○
三九六八一六
  九七八九
五七○六六七
一九五○五五
  三○八一

 一
四○六六○五
  九八一八
  四二○七
一八六○四六
  三五九五

 二
四一六四二三
  九八四五
  七五七○
一七七○二○
  四○八六

 三
四二六二六八
  九八六八
五八○七五六
一六七九四九
  四五五三

 四
四三六一三六
  九八九一
  三七六六
一五八八七六
  四九九七

 五
四四六○二七
  九九一○
  六六○○
一四九七六三
  五四一六

 六
四五五九三七
  九九二五
  九二五八
  ○六四三
  五八一○

 七
四六五八六二
  九九四○
五九一七四四
一三一五○八
  六一八一

 八
四七五八○二
  九九五二
  四○五六
一二二三五九
  六五二六

 九
四八五七五四
  九九六二
  六一九六
一一三二○○
  六八四七

八○
四九五七一六
  九九七二
  八一六五
一○四○三二
  七一四四

 一
五○五六八八
  九九七九
  九九六三
○九四八五四
  七四一五

 二
五一五六六七
  九九八四
六○一五九二
○八五六七○
  七六六一

 三
五二五六五一
  九九八九
  三○五二
○七六四八一
  七八八二

 四
五三五六四○
  九九九三
  四三四五
○六七二八七
  八○七九

 五
五四五六三三
  九九九六
  五四七○
○五八○九○
  八二五○

 六
五五五六二九
  九九九七
  六四一八
○四八八九○
六○八三九五

 七
五六五六二六
  九九九九
  七二二二
○三九六一九
  八五一八

 八
五七五六二五
 一○○○○
  七八四九
○三○四八七
  八六一三

 九
五八五六二五
  ○○○○
  八三一一
○二一二八三
  八六八三

九○
五九五六二五
  ○○○○
  八六○九
○一二○七九
  八七二九

 一
六○五六二五
 ○三一二五
  八七四二
○○二八七六
  八七四九

 一三一
  八七五○
  ○○○○
  八七五○
  ○○○○
  八七五○

黃赤相求弧矢諸率立成下

至後黃分後赤道積度
赤道半弧弦
赤道矢度
至後赤分後黃道積度
度率
黃赤道差

十度十分
十度十分十秒
十度十分十秒
十度十分十秒
十度十分十秒
十度十分十秒

 初
  
  
  
 一○八六五
 

 一
 一○八六五
    九七
 一○八六五
  ○八六一
  ○八六五

 二
 二一七二八
  ○三八八
 二一七二八
  ○八六○
  一七二八

 三
 三二五八七
  ○八七五
 三二五八八
  ○八五七
  二五八八

 四
 四三四四三
  一五五三
 四三四四五
  ○八四九
  三四四五

 五
 五四二九○
  二四二五
 五四二九四
  ○八四三
  四二九四

 六
 六五一二七
  三四九四
 六五一三七
  ○八三三
  五一三七

 七
 七五九五二
  四七五七
 七五九七○
  ○八二三
  五九七○

 八
 八六七六二
  六二一四
 八六七九三
  ○八一二
  六七九三

 九
 九七五五五
  七八一四
 九七六○五
  ○八○一
  七六○五

一○
一○八三二九
  九七一六
一○八四○六
  ○七八六
  八四○六

 一
一一九○六九
 一一七六○
一一九一一二
  ○七七二
  九一九二

 二
一二九八○三
  四○○○
一二九九六四
  ○七五五
  九九六四

 三
一四○四九八
  六四三五
一四○七一九
  ○七四○
 一○七一九

 四
一五一一六一
  九○六七
一五一四五九
  ○七二○
  一四五九

 五
一六一七九六
 二一八九三
一六二一七九
  ○七○四
  二一七九

 六
一七二三七四
  四九一五
一七二八八三
  ○六八四
  二八八三

 七
一八二九一七
  八一三二
一八三五六七
  ○六六三
  三五六七

 八
一九三四一三
 三一五四四
一九四二三○
  ○六四二
  四二三○

 九
二○三八五八
  五一五○
二○四八七二
  ○六二二
  四八七二

二○
二一四二四八
  八九四八
二一五四九四
  ○五九九
  五四九一

 一
二二四五七八
 四二九四八
二二六○九三
  ○五七五
  六○九三

 二
二三四八四五
  七一二四
二三六六六八
  ○五五四
  六六六八

 三
二四五○四四
 五一四九八
二四七二二二
  ○五三○
  七二二二

 四
二五五一七一
  六○六一
二五七七五二
  ○五○六
  七七五二

 五
二六五二二一
 六○八一四
二六八二五八
  ○四八二
  八二五八

 六
二七五一八九
  五七五一
二七八七四○
  ○四五六
  八七四○

 七
二八五○七一
 七○八七四
二八九一九六
 一○四三二
 一九一九六

 八
二九四八六二
  六一七八
二九九六二八
  ○四○八
  九六二八

 九
三○四五五九
 八一六六四
三一○○三六
  ○三八二
 二○○三六

三○
三一四一五五
  七三二六
三二○四一八
  ○三五五
  ○四一八

 一
三二三六四五
九三二六三
三三七七七三
  ○三三二
  ○七七三

 二
三三三○二七
  九一七三
三四一一○五
  ○三○六
  一一○五

 三
三四二二九五
一○五三五一
三五一四一一
  ○二八○
  一四一一

 四
三五一四四四
一一一六九五
三六一六九六
  ○二五四
  一六九一

 五
三六○四七○
  八二○二
三七一九四五
  ○二二九
  一九四五

 六
  九三六八
一二四八六六
三八二一七四
  ○二○三
  二一七四

 七
三七八一三四
一三一六八六
三九二三七七
  ○一七七
  二三七七

 八
三八六七六四
  八六五四
四○二五五四
  ○一五二
  二五五四

 九
三九五二五四
一四五七七○
四一二七○六
  ○一二六
  二七○六

四○
四○三五九九
一五三○二七
四二二八三二
  ○一○二
  二八三二

 一
四一一七九七
一六○四二○
四三二九三○
  ○○七五
  二九三○

 二
  九八四二
  七九四六
四四三○○九
  ○○四九
  三○○九

 三
四二七七三三
一七五五九八
四五三○五八
  ○○二七
  三○五八

 四
四三五四六七
一八三三七三
四六三○八五
○一○○○○
  三○八五

 五
四四三○五八
一九一二六五
四七三○八五
  九九七四
  三○八五

 六
四五○四四五
  九二六五
四八三○五九
  九九五一
  三○五九

 七
  七六八七
二○七三七九
四九三○一○
  九九二五
  三○一○

 八
四六四七六○
二一五五九○
五○二九三五
  九九○一
  二九三五

 九
四七一六六二
二二三八九七
五一二八三六
  九八九六
  二八三六

五○
  八三九一
二三二二九五
五二二七一二
  九八五一
  二七一二

 一
四八四九四六
二四○七七八
五三二五六三
  九八二七
  二五六三

 二
四九一三二六
  九三四一
五四二三九○
  九八○三
  二三九○

 三
  七五三○
二五七九八○
五五二一九三
  九七八○
  二一九三

 四
五○三五五六
二六六六八七
五六一九七三
  九七五五
  一九七三

 五
  九四○五
二七五四六○
五七一七二八
  九七三一
  一七二八

 六
五一五○七六
二八四二九一
五八一四五九
  九七○八
  一四五九

 七
五二○五六八
二九三一八○
五九一一六七
  九六八五
  一一六七

 八
  五八八三
三○二一一八
六○○八五二
  九六六一
  ○八五二

 九
五三一○一九
三一一一○二
六一○五一三
  九六三九
  ○五一三

六○
  五九七八
三二○一二八
六二○一五二
  九六一六
  ○一五二

 一
五四○七六一
  九一九一
  九七六八
  九五九四
 一九七六八

 二
  五三六八
三三八二八七
六三九三六二
  九五七二
  九三六二

 三
  九八○○
三四七四一四
六四八九三四
  九五五一
  八九三四

 四
五五四○五七
三五六五六八
六五八四八五
  九五二九
  八四八五

 五
  八一四三
三六五七四二
六六八○一四
  九五○九
  八○一四

 六
五六二○五七
三七四九三九
六七七五二三
  九四八七
 一七五二三

 七
  五八○一
三八四一五一
六八七○一○
  九四七○
  七○一○

 八
  九三七九
三九三三七八
六九六四八○
  九四五○
  六四八○

 九
五七二七九○
四○二六一五
七○五九三○
  九四二七
  五九三○

七○
  六○三一
四一一八六二
七一五三五七
  九四一二
  五三五七

 一
  九一一一
四二一一一六
七二四七六九
  九三九二
  四七六九

 二
五八二○二九
四三○三七四
七三四一六一
  九三八五
  四一六一

 三
  四七八七
  九六三六
七四三五四六
  九三五三
  三五四六

 四
  七三八七
四四八八九九
七五二八九九
  九三四三
  二八九九

 五
  九八三○
四五八一六三
七六二二四二
  九三二九
  二二四二

 六
五九二一一七
四六七四二五
七七一五七一
  九三一五
  一五七一

 七
  四二五一
四七六六八五
七八○八八六
  九三○四
  ○八八六

 八
  六二三四
四八五九四四
七九○一九○
  九二八六
  ○一九○

 九
  八○六五
四九五一九五
  九四七六
  九二七五
 ○九四七六

八○
  九七四七
五○四四四三
八○八七五一
  九二六五
  八七五一

 一
六○一二八一
五一三六八八
八一八○一六
  九二五五
  八○一六

 二
  二六七四
五二二九二七
八二七二七一
  九二四四
  七二七一

 三
  三九一三
五三二一五九
八三六五一五
  九二三八
  六五一五

 四
  五○一二
五四一三八九
八四五七五三
  九二二八
  五七五三

 五
  五九六七
五五○六一三
八五四九八一
  九二二二
  四九八一

 六
  六七八一
  九八三二
八六四二○三
  九二一五
  四二○三

 七
  七四五三
五六九○四六
八七三四一八
  九二一二
  三四一八

 八
  七九八五
五七八二五七
八八二六三○
  九二一○
  二六三○

 九
  八三七一
五八七四六五
八九一八四○
  九二○四
  一八四○

九○
  八六三○
五九六六七一
九○一○四四
  九二○四
  一○四四

 一
  八七四三
六○五六七四
九一○二四八
  二八七七
  ○二四八

 一三一
  八七五○
  八七五○
  三一二五
  ○○○○
  ○○○○

按郭守敬創法五端,內一曰黃道差,此其根率也。舊法以一百一度相減乘。授時立術,以句股、弧矢、方圓、斜直所容,求其差數,合於渾象之理,視古為密。顧至元曆經所載甚略,又誤以黃道矢度為積差,黃道矢差為差率,今正之。

割圓弧矢圖[圖闕]

凡渾圓中剖,則成平圓。任割平圓之一分,成弧矢形,皆有弧背,有弧弦,有矢。剖弧矢形而半之,則有半弧背,有半弧弦,有矢。因弦矢生句股形,以半弧弦為句,矢減半徑之餘為股,半徑為弦。句股內成小句股,則有小句、小股、小弦,而大小可互求,平側可互用,渾圓之理,斯為密近。

側立之圖[圖闕]

平者為赤道,斜者為黃道。因二至黃赤之距,生大句股。因各度黃赤之距,生小句股。

平視之圖[圖闕]

外大圓為赤道。從北極平視,則黃道在赤道內,有赤道各度,即各有其半弧弦,以生大句股。又各有其相當之黃道半弧弦,以生小句股。此二者皆可互求。

按舊史無圖,然表亦圖之屬也。今句股割圓弧矢之法,實為曆家測算之本。非圖不明,因存其要者數端。

黃赤道內外度

推黃道各度,距赤道內外及去極遠近術。 置半徑內減去赤道小弦,餘為赤道二弦差。[又為黃赤道小弧矢,又為內外矢,又為股弦差。] 置半徑內減去黃道矢度,餘為黃赤道小弦。以二至黃赤道內外半弧弦乘之為實,以黃赤道大弦為法,[即半徑。]除之為黃赤道小弧弦。[即黃赤道內外半弧弦,又為黃赤道小句。] 置黃赤道小弧矢自之,[即赤道二弦差。]以全徑除之,為半背弦差。以差加黃赤道小弧弦為黃赤道小弧半背,即黃赤道內外度。 置黃赤道內外度,視在盈初縮末限以加,在縮初盈末限以減,皆加減象限度,即各得太陽去北極度分。

如冬至後四十四度,求太陽去赤道內外及去極度。 術曰:置半徑六十○度八十七分半,內減黃道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒,餘二度五十一分八十一秒,為黃赤道小弧矢。[即內外矢。] 置半徑六十○度八七五,內減黃道四十四度,矢一十六度五十六分八十二秒,餘四十四度三十○分六十八秒,為黃赤道小弦。 置黃赤道小弦,以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分乘之,得一千○五十○度五十一分四二三八為實,以黃赤道大弦六十○度八七五為法除之,得一十七度二十五分六十九秒為黃赤道小弧弦。[即內外半弧弦。] 置黃赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之為實,以全徑一百二十一度七十五分除之,得五分二十一秒為背弦差,以差加黃赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒,得一十七度三十○分八十九秒,為二至前後四十四度,太陽去赤道內外度。 置象限九十一度三十一分四十三秒七五,以內外度一十七度三○八九加之,得一百○八度六十二分三十二秒七五,為冬至後四十四度太陽去北極度。

黃道每度去赤道內外及去北極立成

黃道積度
黃赤內外矢,又為赤道二弦差
內外半弧弦,又為黃赤小弧弦
內外度,又為黃赤道小弧半背
冬至前後去極度
夏至前後去極度

十度分
十度十分十秒
十度十分十秒
十度十分十秒
 十度十分十秒
十度十分十秒

 初
○四八四八二
二三七一○○
二三九○三○
一一五二一七三
六七四一一三

 一
  八四六九
  七○七八
  八九九七
   二一四○
  四一四六

 二
  八四二七
  六九七二
  八八九八
   二○四一
  四二四五

 三
  八三五九
  六八一二
  八七三二
   一八七五
  四四一一

 四
  八二六三
  六五八八
  八五四一
   一六四四
  四六四二

 五
  八一四○
  六二九九
  八二○二
   一三四五
  四九四一

 六
  七九九一
  五九四六
  七八三八
   ○九八○
  五三○六

 七
  七八一四
  五五二八
  七四○五
   ○五四八
  五七三八

 八
  七六一○
  五○四五
  六九○七
   ○○五○
  六二三六

 九
  七四九九
  四四九六
  六三四二
一一四九四八五
  六八○一

一○
  七一二○
  三八八三
  五七○六
   八八四九
  七四三七

 一
  六八三五
  三二○三
  五○○四
   八一四七
  八一三九

 二
  六五二四
  二四五七
  四二三五
   七三七八
  八九○八

 三
  六一八七
  一六四四
  三三九六
   六五三九
  九七四七

 四
  五八二二
  ○七六四
  二四八八
   五六三一
六八○六五五

 五
  五四三○
二二九八一八
  一五一三
   四六五六
  一六三○

 六
  五○一五
  八八○二
  ○四六六
   三六○九
  二六七七

 七
  四五七二
  七七二一
二二九三五二
   二四九五
  三七九一

 八
  四二○六
  六五七○
  八一六七
   一三一○
  四九七六

 九
  三六一五
  五三五一
  六九一三
   ○○五六
  六二三○

二○
  三○九八
  四○六三
  五五八八
一一三八七三一
  七五五五

 一
  二五五八
  二七○六
  四一九三
   七三三六
  八九五○

 二
  一九九四
  一二七九
  二七二七
   五八七○
六九○四一六

 三
  一四○八
二一九七八二
  一一九○
   四三三三
  一九五三

 四
  ○七九八
  八二一七
二一九五八四
   二七二七
  三五五九

 五
  ○一六八
  六五八一
  七九○六
   一○四九
  五二三七

 六
 三九五一六
  四八七五
  六一五九
一一二九三○二
  六九八四

 七
  八八四四
  三一○○
  四三三九
   七四八二
  八八○四

 八
  八一五一
  一二五四
  二四四九
   五五九二
七○○六九四

 九
  七四四○
二○九三三九
  ○四八九
   三六三二
  二六五四

三○
  六七一一
  七三五五
二○八四六二
   一六○五
  四六八一

 一
  五九六四
  五三○一
  六三六三
一一一九五○六
  六九八○

 二
  五二○一
  二二七八
  四一九五
   七三三八
  八九四八

 三
  四四二四
  ○九八七
  一九六○
   五一○三
七一一一八三

 四
  三六三二
一九八七二八
一九九六五七
   二八○○
  三四八六

 五
  二八二七
  六四○一
  七二八六
   ○四二九
  五八五七

 六
  二○一○
  四○○八
  四八四九
一一○七九九二
  八二九四

 七
 三一一八一
一九一五四八
一九二三四六
一一○五四八九
七二○七九七

 八
  ○三四三
一八九○二四
一八九七八○
   二九二三
  三三六三

 九
 二九四九七
  六四三五
  七一四九
   ○二九二
  五九九四

四○
  八六四三
  三七八三
  四四五六
一○九七五九九
  八六八七

 一
  七七八三
  一○七○
  一七○四
   四八四七
七三一四三九

 二
  六九一九
一七八二九五
一七八八九○
   三○三三
  四二五三

 三
  六○五一
  五四六一
  六○一八
一○八九一六一
  七一二五

 四
  五一八一
  二五六九
  三○八九
   六二三二
七四○○五四

 五
  四三一○
一六九六二○
  ○一○五
   三二四八
  三○三八

 六
  三四三九
  六六一六
一六七○六七
   ○二一○
  六○七六

 七
  二五七○
  三五五九
  三九七七
一○七七一二○
  九一六六

 八
  一七○五
  ○四四九
  ○八三六
   三九九九
七五二三○七

 九
  ○八四三
一五七二八九
一五七六四五
   ○七八八
  五四九八

五○
 一九九八七
  四○八一
  四四○九
一○六七五五二
  八七三四

 一
  九一三八
  ○八二三
  一一二四
   四二六七
七六二○一九

 二
  八二九七
一四七五二三
一四七七九八
   ○九四一
  五三四五

 三
  七四六五
  四一八四
  四四三四
一○五七五七七
  八七○九

 四
  六六四四
  ○八○○
  一○二七
   四一七○
七七二一一六

 五
  五八三三
一三七三七七
一三七五八二
   ○七二五
  五五六一

 六
  五○三六
  三九一六
  四一○一
一○四七二四四
  九○四二

 七
  四二五一
  ○四二○
  ○五八六
   三七二九
七八二五五七

 八
  三四八三
一二六八九○
一二七○三九
   ○一八二
  六一○四

 九
  二七二八
  三三二八
  三四六一
一○三六六○四
  九六八二

六○
  一九九○
一一九七三六
一一九八五四
   二九九七
七九三二八九

 一
  一二六九
  六一一七
  六二二一
一○二九三六四
  六九二二

 二
  ○五六六
  二四七一
  二五六二
   五七○五
八○○五八一

 三
 ○九八八二
一○八七九九
一○八八七九
   二○二二
  四二六四

 四
  九二一八
  五一○五
  五一七四
一○一八三一七
  七九六九

 五
  八五七二
  一三九○
  一四五○
   四五九三
八一一六九三

 六
  七九四八
○九七六五五
○九七七○六
   ○八四九
  五四三七

 七
  七三四六
  三九○一
  三九四五
一○○七○八八
  九一九八

 八
  六七六六
  ○一三二
  ○一六九
   三三一二
八二二九七四

 九
  六二○六
○八六三四七
○八六三七八
○九九九五二一
  六七六五

七○
  五六六九
  二五四五
  二五七一
   五七一四
八三○五七二

 一
  五一五五
○七八七三三
○七八七五四
   一八九七
  四三八九

 二
  四六六四
  四九○九
  四九二六
○九八八○六九
  八二一七

 三
  四一九七
  一○四七
  一○八八
   四二三一
八四二○五五

 四
  三七五三
○六七二三○
○六七二四一
   ○三八四
  五九○二

 五
  三三三四
  三三七八
  三三八七
○九七六五三○
  九七五六

 六
 ○二九四○
○五九五一八
○五九五二五
○九七二六六八
八五三六一八

 七
  二五六九
  五六五三
  五六五八
○九六八八○一
  七四八五

 八
  二二二四
  一七八一
  一七八五
   四九二八
八六一三五八

 九
  一九○三
○四七九○五
○四七九○八
   一○五一
  五二三五

八○
  一六○六
  四○二五
  四○二七
○九五七一七○
  九一一六

 一
  一三三五
  ○一四一
  ○一四二
   三二八五
八七三○○一

 二
  一○八九
○三六二五四
○三六二五四
○九四九三九七
  六八八九

 三
  ○八六八
  二三六五
  二三六五
   五五○八
八八○七七八

 四
  ○六七一
○二八四七五
○二八四七五
   一六一八
  四六六八

 五
  ○五○○
  四五八三
  四五八三
○九三七七二六
  八五六○

 六
  ○三五五
  ○六九○
  ○六九○
   三八三三
八九二四五三

 七
  ○二三二
○一六七九六
○一六七九六
○九二九九三九
  六三四七

 八
  ○一三七
  二九○二
  二九○二
   六○四五
九○○二四一

 九
  ○○六七
○○九○○七
○○九○○七
   二一五○
  四一三六

九○
  ○○二一
  五一一二
  五一一二
○九一八二五五
  八○三一

 一
  ○○○一
  一二一七
  一二一七
   四三六○
九一一九二六

 一三一
  ○○○○
  ○○○○
  ○○○○
   三一四三
  三一四三

白道交周

推白赤道正交,距黃赤道正交極數。 術曰:置實測白道出入黃道內外六度為半弧弦,又為大圓弧矢,又為股弦差。置半徑六十○度八七五自之,得三千七百○五度七六五六二五,以矢六度而一,得六百一十七度六十三分為股弦和,加矢六度,共六百二十三度六十三分為大圓徑。依法求得容闊五度七十分,又為小句。 又以二至出入半弧弦二十三度七十一分為大句。 以大句為法,除大股五十六度○六分五十秒,得二度三十七分[就整]為度差。以度差乘小句,得小股一十三度四十七分八十二秒,為容半長。 置半徑六十○度八七五為大弦,以乘小句五度七十分為實,以大句二十三度七十一分為法除之,得一十四度六十三分為小弦,又為白赤道正交,距黃赤道正交半弧弦。依法求得半弧背一十四度六十六分,為白赤道正交距黃赤道正交極數。

月道距差圖[圖闕 ]

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