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　十六则直形长濶求
　　十七则直形濶求长
　　十八则直形长求濶
　　十九则直形长及濶差求濶
　　二十则直形濶及长差求长
　　二十一则直形及长濶和求长濶差
　　二十二则直形长及濶和求濶
　　二十三则直形濶及长和求长
　　二十四则直形及长濶差求长与濶
　　二十五则直形长和及濶和求长与濶二十六则直形长差及濶差求长与濶二十七则直形积及长濶和求长濶差
　　二十八则直形积及长濶和求
　　二十九则两边等之三角形求对角之垂线【増】三十则有一方角之三角形求对角之垂线【増】三十一则不等边而无方角之三角形求对角之垂线
　　三十二则方周求积
　　三十三则方环以周求积
　　【増】三十四则方环以积及濶求边
　　三十五则直形依长截濶
　　三十六则直形依濶截长
　　三十七则直形截勾股
　　三十八则直形截三角
　　三十九则直形截斜方
　　四十则直形截梯形
　　四十一则三角形以截积截濶求截长【勾股截积同】
　　四十二则三角形以截积截长求截濶
　　四十三则三角形以截长求截濶
　　四十四则三角形以截濶求截长
　　四十五则三角形以截积求截长
　　四十六则三角形以截积求截濶
　　四十七则斜方形以截积截长求截濶【梯形截积同】
　　四十八则斜方形以截积截濶求截长
　　四十九则斜方形以截濶求截长
　　五十则斜方形以截长求截濶
　　五十一则斜方形依小边截积求截濶
　　五十二则斜方形依大边截积求截濶
　　五十三则梯形截勾股
　　五十四则梯形截斜方
　　五十五则梯形截无法五边形
　　【増】五十六则方环截外周
　　【増】五十七则方环截内周

　　数学钥巻一目録
　　钦定四库全书
　　数学钥巻一
　　柘城杜知耕撰
　　方田上【直线类】
　　一则
　　实积求亩
　　设田积二万九千五百二十步求亩法曰置积为实以亩法二四除之得一百二十三亩即所求
　　解曰五尺为步二百四十步为亩如自甲至乙濶一
　　步【即五尺】余三边各与甲乙等则甲丙
　　方形为积一步二百四十倍之则为
　　一亩故亩法用二四也本巻及二巻
　　皆言求积之法得积以此法求之即
　　得亩数
　　二则
　　直形求积
　　设直田长十步濶八步求积法曰置长为实以濶乘之得八十步即所求
　　解曰直田长濶不等求积之法任取
　　一边为此一边之倍数【或以濶乘长或以长乘濶】如甲戊形之戊乙己甲各二步则二
　　倍甲乙边八步之数而甲戊形得积
　　一十六步今丙乙丁甲各十步是十倍甲乙边八步之数故得积八十步也
　　三则
　　方形求积
　　设方田方八步求积法曰置八步自乘得六十四步
　　即所求
　　解曰方田四边皆等以此边为此边
　　之倍数与以他边为此边之倍数同
　　故法用自乘也
　　四则
　　勾股求积
　　设勾股田股长十二步勾濶八步求积法曰置股为实以勾乘之【得九十六步】折半得四十八步即所求解曰勾股形当等高等濶直形之半如甲乙丙勾股
　　形另作丁己直形
　　与之等高【谓丁庚与甲丙
　　等】等濶【谓丁戊与甲乙等】以庚戊线分之则
　　成丁戊庚庚己戊两勾股形皆与甲乙丙勾股形等夫丁己一直形当甲乙丙勾股形二而甲乙丙勾股形不当丁己直形之半乎法以勾乘股所得者丁己直形积也故半之得勾股积又法置股为实以半勾【四步】乘之所得同前【半股为实以勾乘之亦得】
　　解曰丁己直形再以壬辛线中分之成丁壬辛己两分形法以半勾乘股所得即分形积也勾股既为丁己直形之半而分形亦为丁己直形之半故分形积即勾股积也
　　五则
　　三角形求积
　　设三角田中长一十二步底濶八步求积法同勾股田
　　解曰甲乙丙三角形依底线作甲丁直形从角以丙
　　己线分之则三角
　　形内成甲己丙乙
　　己丙两勾股形直
　　形内成甲丙己丁
　　两分形从前解推
　　之甲己丙勾股形
　　当甲丙分形之半
　　乙己丙勾股形当
　　己丁直形之半两勾股形既当两分形之半而三角全形不为甲丁全形之半乎故求积之法与勾股同也　或两边等【如第一图】或三边等【如第二图】或三边俱不等【如第三图】法皆同
　　六则
　　斜方形求积
　　设斜方田长一十
　　五步上濶六步下
　　濶十步求积法曰
　　置长为实以两濶
　　相并【共一十六步】折半【得八步】为法乘之得一百二十步即所求
　　解曰甲乙丁庚斜方形减去辛丁直形所余必甲庚辛勾股形勾股形既为等高等濶直形之半【本巻四则】则己庚直形必与甲庚辛勾股形等又己庚直形与辛丁直形并亦必与甲庚辛勾股形与辛丁直形并等法并两濶折半者乙己之度也以乙己乘丁乙所得乃己丁直形也而己丁直形即己庚辛丁两形并也安得不与甲乙丁庚斜方形等乎
　　七则
　　梯形求积
　　设梯田长一十五步上濶六步下濶十步求积法同斜方田
　　解曰甲乙丙丁梯形减去戊丁直形余甲丙戊乙丁
　　己两勾股形必与
　　辛丙己庚两分形
　　等今戊丁直形与
　　两分形并则与全
　　梯形等矣故并两濶折半乘长得积也
　　八则
　　象目形求积
　　设象目田濶八步正长一十二步求积法曰置正长
　　为实以濶乘之得
　　九十六步即所求
　　解曰几何原本云
　　甲乙丙丁象目形
　　甲戊为正长自乙
　　作乙己线与甲戊平行次于丁丙线引长之至戊成甲乙己戊甲乙丁丙两形在平行线内【等高即在平行线内】而同底【等濶即同底】则两形必相等何也甲戊乙己两线既平行则戊己必与甲乙等而丙丁元等于甲乙则丙丁与戊己必亦等丙丁既与甲乙等则甲丙乙丁两线必平行而亦相等因显甲丙戊乙丁己两三角形亦等于两形内每减一己丙庚三角形所余甲庚己戊庚乙丙丁两无法四边形亦等次于两无法形每加一甲庚乙三角形则成甲乙丙丁甲乙戊己两形安得不等法以濶乘正长得甲己直形之积即甲乙丙丁象目形之积
　　又法甲乙丙丁象目田自甲量至丁得一十六步自丙量至戊得六步两数相乘亦得九十六步与前同
　　解曰象目田以甲丁线分之则成相
　　等之两三角形甲丁即底丙戊即中
　　长也故以底乘长得全积也【三角法以底乘
　　长折半得积今不折故得两形之共积】

　　九则
　　诸直线形求积
　　第一图
　　可作三
　　三角形
　　第二图
　　可作一
　　斜方形
　　一三角
　　形第三图可作一三角形而减一小三角形第四图可作一方形而减一勾股形第五图可作一直形一勾股形第六图可作两三角形其余千形万状凡属直线边者皆依方直三角勾股裁之
　　十则
　　积求方边【即开平方】
　　设方田积三万六千一百步求方边法曰置积于中为实初商一百步于实左亦置一百步于实右为方法左右对呼除实一万步【余二万六千一百步】倍方法【得二百步】为
　　亷法次商九十步于左初商
　　之次【共一百九十步】亦置九十步于
　　右亷法之次为隅法【共二百九十步】以左次商与亷法对呼除实
　　一万八千步【余八千一百步】又以左
　　次商与隅法对呼除实八千
　　一百步恰尽于左得一百九十步即所求方边之数解曰初商与方法对呼所除者己辛方形也【即大方积】次商与亷法对呼所除者甲壬壬丁两直形也【即两亷】必倍方法为亷法者以亷有二也次商与隅法对呼所除者庚戊方形也【即隅方】四形恰尽实积则初次两商
　　之数为方田边无疑矣
　　又设方田积七万一千八百
　　二十四步求方边法曰置积
　　于中为实初商二百步于左
　　亦置二百步于右为方法左
　　右对呼除实四万步【余三万一千八
　　百二十四步】倍方法【得四百步】为亷法
　　次商六十步于左初商之次亦置六十步于亷法之次为隅法先以次商与亷法对呼除实二万四千步再以次商与隅法对呼除实三千六百步【余实四千二百二十四步】又倍次商【得一百二十步】并右亷法【共五百二十步】复为亷法三商八步于左初商次商之次【共二百六十八步】亦置八步于右亷法之次复为隅法先以三商与亷法对呼除实四千一百六十步再以三商与隅法对呼除实六十四步恰尽于左初次三三商共得二百六十八步即所求方边之数
　　解曰此与前条无异但前二位此三位耳初商次商不能尽故三商之如三商又不尽则四商五商仿此十一则
　　方边求斜
　　设方田方五十步求法曰置方数自乘【得二千五百步】倍
　　之【得五千步】平方开之【本巻十则】得七十步零
　　七分有竒即所求
　　解曰甲乙丙丁方形作甲丁丙乙
　　线次作己庚辛壬方形令方边与甲
　　丁方形之线等则庚壬方形必倍大于甲丁方形何也甲丁形内丁戊丙丙戊甲甲戊乙乙戊丁三角形四是四三角形当一甲丁方形也形外丁丙己乙丁壬甲乙辛丙甲庚三角形亦四各与甲丁形内四三角形等是形外四三角形又当一甲丁方形矣因知斜自乘之方形【即庚壬方形】倍大于方边自乘之方形【即甲丁方形】法置方边自乘即甲丁方积也倍之即庚壬方积也平方开之得庚壬方形之边即得甲丁方形之也
　　十二则
　　斜求方边
　　设方田长七十步零七分有竒求方边法曰置自乘【得五千步】折半【得二千五百步】平方开之得五十步即所求解曰置自乘求庚壬方积也【图同上则】折半即甲丁方积也故平方开之得甲乙
　　十三则
　　直积求长与濶【即带纵开平方】
　　设直田积九百七十二步长濶差九步求长与濶法
　　曰置积四因之【得三千八百八十八步】又长濶
　　差自乘【得八十一步】两数并【共三千九百六十九步】平方开之得六十三步加长濶差【共七
　　十二步】折半得三十六步即长以长濶
　　差减长余二十七步即濶
　　解曰一线任两分之两分线矩内形四及两分线之较线上方形一并与元线上方形等如图甲乙线两分于丙丙子庚癸己壬辛丑四线各与乙丙等庚子己癸辛壬丙丑四线各与甲丙等则丙庚庚己己辛辛丙四形必两分线矩内形也辛丑既等于丙乙壬辛又等于甲丙则丑壬必两分线之较线壬癸癸子子丑又各等于丑壬则癸丑形必较线上方形矣甲乙元线上方形不与五形并等乎直田积即两分线矩内形也四因之者矩内形四也长濶差自乘即较线上方形也五形并等于元线上方形故平方开之得甲乙元线即长濶相和之度也【开方所得之六十三步】长濶和增一长濶差即两长两长折半非一长而何以长濶差减长非濶而何
　　十四则
　　直形以长求濶
　　设直田积九百七十二步长三十六
　　步求濶法曰置积为实以长除之得
　　二十七步即所求
　　解曰濶为长之倍数故以长除积得
　　濶【本巻二则】
　　十五则
　　直形以濶求长
　　设直田积九百七十二步濶二十七步求长法曰置积为实以濶除之得三十六步即所求
　　解曰长亦为濶之倍数故以濶除实得长【本巻二则】十六则
　　直形长濶求
　　设直田濶二十七步长三十六步求
　　法曰长濶各自乘【长得一千二百九十六步濶得
　　七百二十九步】两数并【共二千零二十五步】平方开之
　　得四十五步即所求
　　解曰此即勾股求【六巻一则】
　　十七则
　　直形濶求长
　　设直田濶二十七步四十五步求长法曰濶各自乘【得二千零二十五步濶得七百二十九步】两数相减【余一千二百九十六】平方开之得三十六步即所求
　　解曰此即勾求股【六巻二则】
　　十八则
　　直形长求濶
　　设直田长三十六步四十五步求濶法曰长各自乘【得二千零二十五步长得一千二百九十六步】两数相减【余七百二十九步】平方开之得二十七步即所求
　　解曰此即股求勾【六巻三则】
　　十九则
　　直形长及濶差求濶
　　设直田长三十六步濶差一十八步求濶法曰长与濶差各自乘【长得一千二百九十六步濶差得三百二十四步】两数相减【余九百七十二步】折半【得四百八十六步】以濶差为法除之得二十七步即所求
　　解曰此即股与勾较求勾【六巻十四则】
　　二十则
　　直形濶及长差求长
　　设直田濶二十七步长差九步求长法曰置濶自乘【得七百二十九步】以长差为法除之【得八十一步】减长差【余七十二步】折半得三十六步即所求
　　解曰此即勾与股较求股【六巻十五则】
　　二十一则
　　直形及长濶和求长濶差
　　设直田长濶和六十三步四十五步求长濶差法曰置自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置长濶和自乘【得三千九百六十九步】两数相减【余八十一步】平方开之得九步即长濶差以减长濶和【余五十四步】折半得二十七步即濶加长濶差得三十六步即长
　　解曰此即与勾股和求勾股较【六巻七则】
　　二十二则
　　直形长及濶和求濶
　　设直田濶和七十二步长三十六步求濶法曰置长自乘【得一千二百九十六步】以濶和为法除之得一十八步即濶差以减濶和【余五十四步】折半得二十七步即所求
　　解曰此即股与勾和求勾较【六巻十八则】
　　二十三则
　　直形濶及长和求长
　　设直田长和八十一步濶二十七步求长法曰置濶自乘【得七百二十九步】以长和为法除之得九步即长差以减长和【余七十二步】折半得三十六步即所求解曰此即勾与股和求股较【六巻十九则】
　　二十四则
　　直形及长濶差求长与濶
　　设直田长濶差九步四十五步求长与濶法曰置自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置长濶差自乘【得八十一步】两数相减【余三千九百六十九步】平方开之得六十三步即长濶和加长濶差【共七十二步】折半得三十六步即长减长濶差余二十七步即濶
　　解曰此即与勾股较求勾股和【六巻十则】
　　二十五则
　　直形长和及濶和求长与濶
　　设直田长和八十一步濶和七十二步求长与濶法曰置长和以濶和乘之【得五千八百三十二步】倍之【得一万一千六百六十四步】平方开之得一百零八步与长和相减余二十七步即濶与濶和相减余三十六步即长
　　解曰此即勾和股和求勾与股【六巻十三则】
　　二十六则
　　直形长差及濶差求长与濶
　　设直田长差九步濶差一十八步求长与濶法曰置长差以濶差乘之【得一百六十二步】倍之【得三百二十四步】平方开之得一十八步加濶差得三十六步即长加长差得二十七步即濶
　　解曰此勾较股较求勾与股【六巻二十则】
　　二十七则
　　直形积及长濶和求长濶差
　　设直田长濶和六十三步积九百七十二步求长濶差法曰置长濶和自乘【得三千九百六十九步】另置积四因之【得三千八百八十八步】两数相减【余八十一步】平方开之得九步即所求
　　解曰长濶和自乘之方积当直田积四长濶差自乘之方积一故以长濶和自乘减去四直田积余以平方开之得长濶差也【本巻十三则】
　　二十八则
　　直形积及长濶和求
　　设直田积九百七十二步长濶和六十三步求法曰置长濶和自乘【得三千九百六十九步】另置积倍之【得一千九百四十四步】两数相减【余二千零二十五步】平方开之得四十五步即所求
　　解曰甲戊形长濶和自乘之方也庚
　　辛形自乘之方也甲戊形内勾股
　　八及长濶差自乘之方一庚辛形内
　　勾股四及长濶差自乘之方一每二
　　勾股当一直形【如一丙乙丑辛直形内有乙丙辛丑辛丙】
　　【两勾股形】是长濶和上方形大于上方形之较为二直田积也故法以长濶和自乘减去二直田积平方开之即得度也
　　二十九则
　　两边等之三角形求对角之垂线
　　设三角田底濶六步两余边各五步
　　求中长法曰置底折半【得三自步】乘【得九
　　步】余边亦自乘【得二十五步】两数相减【余一
　　十六步】平方开之得四步即所求
　　解曰丙乙作乙丁作勾以所求之丙丁作股此即勾求股法也【六巻二则】甲乙边折半即得勾者以乙丙丙甲两边等也设两边不等此法不行矣则有下法在
　　三十则
　　有一方角之三角形求对角之垂线
　　设不等边三角田有一方角【丙为方角即勾股田】底濶十步乙丙边六步甲丙边八步求中长法曰置乙丙边自乘【得三十六步】以底除之【得三步六分○此即丁乙之度以下仍勾求股法】又自乘
　　【得一十二步九分六厘】与丙乙边自乘之数相
　　减【余二十三步零四厘】平方开之得四步八分
　　即所求
　　解曰此勾股求对角垂线法也【六巻二十
　　五则】因有方角故用之若无方角此法
　　又穷矣更有一法不问等边方角与否皆可求如下则
　　三十一则
　　不等边而无方角之三角形求对角之垂线
　　设三角田底濶一十五步乙丙边八
　　步甲丙边十步求中长法曰置乙丙
　　甲丙两边各自乘【乙丙得六十四步甲丙得一百步】两数相减【余三十六步】为实以底除之【得二
　　步四分】以减底【余一十二步六分】折半【得六步三分】
　　【即乙丁之度以下勾求股法】又自乘【得三十九步六分九厘】另置乙丙自乘【得六十四步】两数相减【余二十四步三分一厘】平方开之得四步九分三厘有竒即所求
　　解曰甲乙丙三角形丁为对角防另作庚辛为乙丙
　　边上方壬癸为甲
　　丙边上方壬癸大
　　于庚辛之较为夘
　　子丑磬折形若移
　　丑于寅则成夘子
　　寅直形又作辰巳
　　为丁乙上方午未
　　为甲丁上方午未
　　大于辰巳之较为申酉戌磬折形若移戌于亥则成申酉亥直形申酉亥与夘子寅两直形必相等何也甲乙丙三角形以丙丁线分之则成丁乙丙丁甲丙两勾股形既皆勾股形则丙乙上方形必与丙丁股乙丁勾上两方形并等甲丙上方形必与丙丁股甲丁勾上两方形并等【六巻一则】从此推之则甲丙上方形大于丙乙上方形之容必与丙丁甲丁上两方形大于丙丁乙丁上两方形之容等试减去同用之丙丁上方形则甲丙上方形大于乙丙上方形之夘子寅直形与甲丁上方形大于乙丁上方形之申酉亥直形必相等矣法以乙丙甲丙上两方形相减余即夘子寅直形之容亦即申酉亥直形之容也夫申酉亥直形以甲乙底为长【以甲丁乙丁两线并为长即以甲乙全线为长】以甲丁乙丁之较线甲己为濶者也故以甲乙底除之得甲己甲己既为甲丁乙丁之较线于甲乙线减去甲己则己丁乙丁两线等矣故折半得乙丁余仍勾求股法【六巻二则】同前则
　　三十二则
　　方周求积
　　设方田周二百步求积法曰置周自乘【得四万步】以方法十六除之得二千五百步即所求
　　解曰假如一步以
　　四面计之则周四
　　步四步自乘得一
　　十六步是周自乘
　　之十六步止得实积一步故以十六为方法也然此法止可施于方田至于直田则不可用如下图直田长六十步濶四十步周亦得二百步实积止得二千四百步如以前法求之则多积百步矣
　　三十三则
　　方环以周求积
　　设方环田外周二百八十步内周一百二十步求积法曰二周各自乘【外周得七万八千四百步内周得一万四千四百步】两数相
　　减【余六万四千步】以方法十六除之得四千
　　步即所求
　　解曰此方内减方法也○如知环濶
　　则用梯田法置两周相并折半以濶
　　乘之即得环积
　　三十四则
　　方环以积及濶求边
　　设方环田积四千步濶二十步求内外边法曰置濶自乘【得四百步】以四因之【得一千六百步】以减环积【余二千四百步】余积
　　以四归之【得六百步】以濶除之得三十步
　　即内边倍濶【得四十步】加之得七十步即
　　外边
　　解曰法以环濶自乘者求环之隅方
　　也【即甲等】以四因之者环之隅有四也【即甲乙丙丁四方形】以减环积所余必四直形也【即戊己庚辛四直形】四归之者取四直形之一也以濶除之即得内边者其直形以环之濶为濶以内边之度为长也加两濶即得外边者外边大于内边之较为两濶也○或四因环濶除积得五十步【即直方两形并之共长】加濶得外边减濶得内边
　　三十五则
　　直形依长截濶
　　设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步
　　求截濶法曰置积为实以元长除之
　　得三十二步即所求
　　解曰即以长求濶法【本巻十四则】

　　三十六则
　　直形依濶截长
　　设直田濶六十四步依元濶截积二千七百二十步求截长法曰置积为实以元濶除之得四十二步五分即所求
　　解曰即以濶求长法【本巻十五则】

　　三十七则
　　直形截勾股
　　设直田长八十五步依元长截积一千三百六十步成勾股形法曰置积倍之【得二千七百二十步】以元长除之得三十二步即所求
　　解曰勾股形当等高等濶直形之半
　　法倍勾股积即乙丙直形积也乙丙
　　直形既倍勾股积则必与勾股等高
　　等濶矣故求乙丙直形之濶即勾股
　　之濶也
　　三十八则
　　直形截三角
　　设直田濶六十四步依元濶截积一千三百六十步成三角形求长法曰置积倍之【得二千七百二十步】以元濶除
　　之得四十二步五分即所求
　　解曰三角形亦当等高等濶直形之
　　半法倍三角积即甲乙直形积也甲
　　乙直形既倍三角积则必与三角形
　　等高等濶矣故求甲乙直形之长即三角形之长也三十九则
　　直形截斜方
　　设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步成斜方形两濶相差五步求两濶法曰置积为实以
　　元长除之【得三十二步】另置相差五步折
　　半【得二步五分】并三十二步得三十四步
　　五分即大边减三十二步得二十九
　　步五分即小边
　　解曰以元长除积者求甲乙直形之濶也甲乙直形之濶为斜方两濶之中度【谓小于大边二步五分大于小边亦二步五分】故置差折半增减之即得两濶
　　四十则
　　直形截梯形
　　设直田濶六十步依元濶截积三千七百八十步成梯形两濶相差一十二步求长法曰置积为实倍元濶【得一百二十步】减相差一十二步【余一百零八步】折半【得五十四步】为
　　法除之得七十步即所求
　　解曰倍濶减差折半者求甲乙直形
　　之濶也甲乙直形濶为梯形两边之
　　中度【谓小于大边六步大于小边亦六步】则直形之容
　　必与梯形等故求直形之长即得梯形之长
　　四十一则
　　三角形以截积截濶求截长【勾股截积同】
　　设三角田依角截积一千三百六十
　　步截濶六十四步求截长法曰置积
　　倍之【得二千七百二十步】以濶除之得四十二
　　步五分即所求
　　解曰此与直田截三角同【本巻三十八则】
　　四十二则
　　三角形以截积截长求截濶
　　设三角田依角截积一千三百六十步截长四十二步五分求截濶法曰置积倍之【得二千七百二十步】以长除之得六十四步即所求
　　解曰此与直田截勾股同【本巻三十七则】
　　四十三则
　　三角形以截长求截濶
　　设三角田元长二百步濶一百五十步自角截长一百五十步求截濶法曰置截长为实以元濶乘之【得二万二千五百步】以元长除之得一百一十二步五分即所求解曰凡三角形任以一线分之分线若与底线平行则分形之比例必各与全形等谓丙丁与丁戊若丙甲与甲乙丁戊与丙庚若甲乙与丙己又丁戊与甲乙若丙丁与甲丙丙庚与丙己也【泰西几何原本】甲乙丙即元形丁戊丙即截形也则截长与截濶之比例必若元长与元濶矣截濶与元濶之比例亦必若截长与
　　元长矣【谓截长大于截濶几
　　分之几则元长亦大于元濶几分之
　　几截濶小于元濶几分之几则截长
　　亦小于元长几分之几】法以
　　元濶乘截长以元长除之者借元长及元濶之比例因截长以求截濶也【求比例用异乘同除法详三巻五则】
　　四十四则
　　三角形以截濶求截长
　　设三角田元长二百步濶一百五十步截濶一百一十二步五分求截长法曰置截濶为实以元长乘之【得二万二千五百步】以元濶除之得一百五十步即所求解曰此借元濶元长之比例因截濶以求截长也四十五则
　　三角形以截积求截长
　　设三角田元长二百步濶一百五十步自角截积八千四百三十七步五分求截长法曰置积倍之【得一万六千八百七十五步】为实以元长乘之【得三百三十七万五千步】以元濶除之【得二万二千五百步】平方开之得一百五十步即所求
　　解曰甲乙丙即元
　　形丁戊丙即截形
　　丁壬为截形等高
　　等濶之直形辛壬
　　为截长丙庚线上方形丁壬辛壬两形之高必相等两形既等高则其比例必若丁戊与辛戊【几何原本云凡两形等高形与形之比例若线与线】辛戊与截长丙庚等而丁戊即截濶是丁壬与辛壬之比例若截濶与截长也分形之比例元与全形等【本巻四十三则】则丁壬与辛壬之比例又若元濶与元长矣法倍截积者求丁壬直形也以元长乘元濶除之者借元长元濶之比例因丁壬直形以求辛壬方形也辛壬为截长丙庚上方形故平方开之得截长也
　　四十六则
　　三角形以截积求截濶
　　设三角田元长二百步濶一百五十步自角截积八千四百三十七步五分求截濶法曰置截积倍之【得一万六千八百七十五步】为实以元濶乘之【得二百五十三万一千二百五十步】以
　　元长除之【得一万二千六
　　百五十六步二分五厘】平方
　　开之得一百一十
　　二步五分即所求
　　解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬为截形等高等濶之直形丁辛为截濶丁戊上方形丁壬丁辛两形之濶必相等两形既等濶则其比例必若戊壬与戊辛戊辛与截濶等戊壬与截长等是丁壬与丁辛之比例若截长与截濶亦若元长与元濶矣法倍截积者求丁壬直形也以元濶乘元长除之者借元长元濶之比例因丁壬直形以求丁辛方形也丁辛为截濶丁戊上方形故平方开之得截濶也○以上皆自角截积法若自底截积则以截积减元积余积亦以上法求之得濶即截濶得长减元长余为截长四十七则
　　斜方形以截积截长求截濶【梯形截积同】
　　设斜方田元长九十步大边
　　濶三十八步小边濶二十步
　　依小边截积八百二十二步
　　五分截长三十五步求截濶
　　法曰置积为实以截长除之
　　【得二十三步五分】倍之【得四十七步】减小
　　边元濶余二十七步即所求
　　解曰以截长除积者求甲丙直形之濶甲乙也甲乙为小边及截濶之中度倍之则与小边及截濶并等矣故减小边即得截濶也
　　四十八则
　　斜方形以截积截濶求截长
　　设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步依小边截积八百二十二步五分截濶二十七步求截长法曰置积为实以截濶与小边元濶并【得四十七步】折半【得二十三步五分】为法除之得三十五步即所求解曰以截濶与小边相并折半者求两濶之中度甲乙也【同前图】故以除积得截长
　　四十九则
　　斜方形以截濶求截长
　　设斜方田元长九十步大边
　　濶三十八步小边濶二十步
　　截濶二十七步求截长法曰
　　置小边元濶与截濶相减【余七】
　　【步】为实以元长乘之【得六百三十步】另以两元濶相减【余一十八步】除之得三十五步即所求
　　解曰小边与截濶相减所余必庚己两元濶相减所余必甲戊庚己与截长之比例若甲戊与元长也与三角形同【本巻四十三则】
　　五十则
　　斜方形以截长求截濶
　　设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自小边截长三十五步求截濶法曰置截长为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得六百三十步】以元长除之【得七步】并小边元濶得二十七步即所求
　　解曰七步即己庚之度也【图同前】故加小边元濶得截濶余同前解
　　五十一则
　　斜方形依小边截积求截濶
　　设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自小边截积八百二十二步五分求截濶法曰置积为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得一万四千八百零五步】以元长除之【得一百六十四步五分】倍之【得三百二十九步】另以小边元濶自乘【得四百步】两数并【共七百二十九步】平方开之得二十七步即所求
　　解曰甲乙丙丁全形己辛丙丁截形丙丁与甲乙为两元濶辛己为截濶丙戊为元长丙庚为截长庚己
　　为小边与截濶之较线甲戊
　　为两元濶之较线癸辛为截
　　濶上方形子辛为小边上方
　　形【庚辛与丙丁等】癸辛之大于子辛
　　者为丑寅两亷与夘一隅夘隅即较线庚己上方形也截形以丙庚线分之必成庚丁一直形己丙庚一勾股形若以截长丙庚除直形必得辛庚线再以较线己庚乘之必成一亷【两亷俱以小边为长以较线为濶】若以截长丙庚除勾股必得庚壬线庚壬者庚己之半也再以庚己乘之必成半隅然直形与勾股两形实一截形之分也若以己庚乘截积以丙庚除之亦必得一亷半隅也又全形之比例与截形等【本巻四十九则】丙戊之与甲戊必若丙庚之与己庚故置截积以元长丙戊除之以两边较线甲戊乘之亦得一亷半隅与前同倍之则成两亷一隅夫小边上方形之小于截濶上方形者此两亷一隅也并之则成截濶上方形矣故平方开之得截濶
　　五十二则
　　斜方形依大边截积求截濶
　　设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自大边截积一千七百八十七步五分求截濶法曰置积为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得三万二千一百七十五步】以元长除之【得三百五十七步五分】倍之【得七百一十五步】另以大边元濶自乘【得一千四百四十四步】两数相减【余七百二十九步】平方开之得二十七步即所求
　　解曰既自大边截积则
　　元形之大边亦即截形
　　之大边而截濶为小边
　　小边上方形之小于大
　　边上方形者两亷一隅也故于大边上方形内减去两亷一隅平方开之即得截濶○若并求长得濶用本巻四十八则法求之
　　五十三则
　　梯形截勾股
　　设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步自一角截勾股积三百四十八步四分八厘求
　　截濶法曰置积倍之【得六百九十六
　　步九分六厘】以两元濶相减【余六十步】折半【得三十步】乘之【得二万零九百零八步八
　　分】以元长除之【得一百七十四步二分四】
　　【厘】平方开之得一十三步二分即所求
　　解曰甲乙丙丁梯形减去甲戊丙丁斜方所余必戊丁乙勾股形截积亦勾股形则是勾股截勾股也故法同勾股【本巻四十六则】○若求长则倍截积以截濶除之即得【本巻三十八则】
　　五十四则
　　梯形截斜方
　　设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步截斜方积三千六百步求截濶法曰置积为实
　　以元长除之【得三十步】另以两元
　　濶相减【余六十步】四归之【得一十五步】两数并得四十五步即所求
　　解曰元长除截积得己戊甲
　　庚为大边大于小边之半甲己又为甲庚之半则甲己为大边大于小边四分之一矣故四归两濶之较并己戊得截濶
　　五十五则
　　梯形截无法五边形
　　设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步截五边形【即甲戊己丁丙】积五千六百五十一步五分二厘求截濶法曰先求梯田全积【本巻七则】减去截积【余三
　　百四十八步四分八厘】以梯田截勾股
　　法求之【本巻五十三则】得濶【一十三步二分】以减大边元濶余六十六步
　　八分即所求
　　解曰一十三步二分者乙己戊余形之濶乙戊也大边元濶甲乙减去乙戊余甲戊即截濶
　　五十六则
　　方环截外周
　　设方环田外方七十步自外截积二千四百步求截
　　环内方法曰置元方自乘【得四千九百步】减
　　去截积【余二千五百步】平方开之得五十步
　　即所求
　　解曰余环外方即截环内方
　　五十七则
　　方环截内周
　　设方环田内方三十步自内截积一千六百步求截环外方法曰置内方自乘【得九百步】与截积并【得二千五百步】平方开之得五十步即所求
　　解曰内方自乘者补环内虚形以便开方也

　　数学钥巻一
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
　　钦定四库全书
　　数学钥巻二凡例
　　柘城杜知耕撰
　　凡例
　　一则
　　圆必中规不中规者不得为圆形形界曲线曰周【如甲乙丙
　　丁线】过心直线曰径【如丁丙线】

　　二则
　　一率自乘之数等于两率相乘之数则此率为两率之中率如甲与乙之比例犹乙与丙则乙为甲丙之中率
　　三则
　　设内外两形内形或以角或以边抵外形之界而不交
　　曰相切如丙为甲乙之内切形甲乙
　　为丙之外切形

　　四则
　　曲线直线相杂曰杂线形
　　五则
　　割甲乙丙丁圆之一分为甲乙丙弧矢形甲乙丙曲线
　　曰背甲乙衡线曰丙丁纵线曰矢
　　丙己曰全径丁己曰余径丁戊曰离
　　径丙戊曰半径
　　六则
　　设甲乙直线以线为径作甲乙丙丁圆形曰甲乙线上
　　圆形

　　数学钥巻二凡例

　　钦定四库全书
　　数学钥卷二目録
　　柘城杜知耕撰
　　方田下【曲线类】
　　一则圆径求周
　　二则圆周求径
　　三则圆周径求积
　　四则圆径求积
　　五则圆周求积
　　六则圆积求径
　　七则圆积求周
　　八则圆环求积
　　【增】九则圆环以积及内周求外周
　　【增】十则圆环以积及外周求内周
　　十一则圆环以积及内外周求环濶
　　【增】十二则圆环以两周求环濶
　　【增】十三则圆环以积及濶求两周
　　【增】十四则圆环以积及濶求径
　　十五则圆环以全径及虚径求积
　　【西法】十六则撱圆求积
　　【西法】十七则弧矢求积
　　【增】十八则弧矢形以积矢及离径求背
　　【西法】十九则弧矢形以矢求余径【求全径离径半径附】
　　【西法】二十则弧矢形以矢径求
　　二十一则弧矢形以离径半径求
　　【西法】二十二则弧矢形以及余径求矢
　　【增】二十三则弧矢形以及全径求矢
　　二十四则弧矢形以半半径求矢
　　二十五则弧矢形以半及离径求矢
　　【增】二十六则弧矢形以半径半较及半离径较求矢与
　　二十七则旧弧矢法以矢求积
　　二十八则旧弧矢法以积矢求
　　二十九则旧弧矢法以积求矢
　　【增】三十则增弧矢法以矢求积
　　【增】三十一则圆截圆
　　三十二则圆截弧矢
　　【西法】三十三则弧矢形截杂线三角形
　　三十四则方内减圆以余积求圆积
　　三十五则方内减圆以余积求方积【求方边圆径附】
　　三十六则圆内减方以余积求方积【求方边圆径附】
　　三十七则圆内减方以余积求圆积
　　三十八则方内减不相切之圆以余积求方边及圆径
　　【增】三十九则圆内减不相切之方以余积求圆径及方
　　四十则诸杂线形求积

　　数学钥巻二目録
　　钦定四库全书
　　数学钥巻二
　　柘城杜知耕撰
　　方田下【曲线类】
　　一则
　　圆径求周
　　设圆田径二十八步求周法曰置径为实以周法二十二乘之【得六百一十六步】以径法七除之得八十八步即所求
　　解曰径法七周法二十二者径与周
　　之比例若七与二十二也何也西洋
　　亚竒黙德云圆径与圆周三倍又七
　　十之十则朒【谓周不及此数也】三倍又七十
　　一之十则盈【谓周过于此数也】先论三倍又七十之十曰丁甲乙半圜戊为心从甲作午子切线从乙从丁作乙己壬丁线各与乙戊半径等设乙戊己角六十度己戊甲角必三十度为六边形之半角也末从心过己过壬作戊午戊子线成戊午子等角形己戊壬既六十度则午子为等角形之边设甲午股一百五十三
　　步则戊午必三百零六步【戊午元与午子
　　等午子既倍大于甲午则戊午亦必倍大于甲午】各自乘甲
　　午股得二万三千四百零九步戊午
　　得九万三千六百三十六步两数
　　相减余七万零二百二十七步平方
　　开之得二百六十五步有竒为戊甲
　　勾【即半径】则戊甲与甲午之比例为二
　　百六十五步有竒与一百五十三步
　　次平分午戊甲角作戊庚线任分甲午于庚【庚戊线割圜界于酉己酉甲酉两弧等两弧既等则酉戊己酉戊甲两角必等故曰平分甲庚庚午两线不等故曰任分】则午戊与戊甲若午庚与甲庚合之戊午偕戊甲而与戊甲若午庚偕甲庚而与甲庚更之戊午并戊甲而与甲午【甲午即午庚偕甲庚】若戊甲与甲庚先定戊午戊甲并为五百七十一步有竒午甲为一百五十三步则戊午并戊甲与甲午之比例若五百七十一步有竒与一百五十三步则戊甲与甲庚之比例亦若五百七十一步有竒与一百五十三步矣即以两数各自乘并而开方得五百九十一步又八之一不尽为庚戊线【戊甲为勾甲庚为股庚戊为】则庚戊与甲庚之比例若五百九十一步又八之一不尽与一百五十三步次平分庚戊甲角作戊辛线则戊庚并戊甲一千一百六十二步又八之一与庚甲一百五十三步若戊甲与甲辛若设甲辛为一百五十三步则戊甲为一千一百六十二步又八之一有竒两数各自乘并而开方得一千一百七十二步又八之一为辛戊线【甲戊为勾甲辛为股辛戊为】则辛戊与辛甲之比例若一千一百七十二步又八之一与一百五十三步次平分辛戊甲角作戊寅线则辛戊并戊甲二千三百三十四步又四之一与辛甲一百五十三步若戊甲与甲寅设甲寅为一百五十三步则戊甲为二千三百三十四步又四之一两数各自乘并而开方得二千三百三十九步又四之一有竒为寅戊线【戊甲为勾甲寅为股寅戊为】则寅戊与寅甲之比例若二千三百三十九步又四之一有竒与一百五十三步次平分寅戊甲角作未戊线则寅戊并戊甲四千六百七十三步五分有竒与寅甲一百五十三步若戊甲与甲未若设甲未为一百五十三步则戊甲为四千六百七十三步五分有竒子戊午为半圜三分之一即为全圜六分之一甲戊午为十二分之一甲戊庚为二十四分之一甲戊辛为四十八分之一甲戊寅为九十六分之一甲戊未为一百九十二分之一复作甲戊申角与甲戊未角等成未戊申三角形未甲申其切线也为九十六边形之一边此边与全径之比例若一百五十三步与四千六百七十三步五分【未申倍大于未甲乙丁全径亦倍大于甲戊半径】以一百五十三步乘九十六边得一万四千六百八十八步则全边与全径之比例为一万四千六百八十八步与四千六百七十三步五分约之为三又七之一不足夫形外切线尚不及三又七之一况圜周乎　次论三倍又七十一之十曰乙甲丙半圜乙丙径戊心从丙作丙甲与半径戊丙等【甲丙即六边形之一边】从乙作乙甲线成乙甲丙勾股形而甲为方角设甲丙勾为七百八十步乙丙为一千五百六十步两数各自乘相减开方得一千三百五十一步不足为乙甲股则乙甲与甲丙之比例为一千三百五十一步与七百
　　八十步次平分甲乙丙角作乙丁线
　　以丁丙聨之成丁乙丙丙丁己两勾
　　股形自相似葢同用丁方角在半圜
　　内甲丁丁丙两线所乘之弧等则丁
　　丙己丁乙丙两弧之角必等凡两形
　　有两角等者各腰俱相似则乙丁【大股】与丙丁【大勾】若丁丙【小股】与丁己【小勾】又乙
　　丙【大】与丁丙【大勾】若己丙【小】与丁己【小勾】
　　更之乙丙与己丙【两】若丁丙与丁己【两勾】是乙丁与丁丙【两股】丁丙与丁己【两勾】乙丙与己丙【两】三比例皆等又乙丙与己丙【两】若乙丙并甲乙【两腰】与甲丙底之两分则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙先定乙甲一千三百五十一步弱乙丙一千五百六十步是乙甲乙丙并为二千九百一十一步弱甲丙先设七百八十步则乙丁与丁丙亦为二千九百一十一步弱与七百八十步各自乘并而开方得三千零一十三步又四之一弱为乙丙线【乙丁丙形之】则乙丙与丁丙之比例为三千零一十三步又四之一弱与七百八十步次平分丁乙丙角作辛乙线依前论丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与辛丙先定乙丙三千零一十三步又四之一弱乙丁二千九百一十一步弱并为五千九百二十四步又四之一弱今丙丁为七百八十步则乙辛与辛丙为五千九百二十四步又四之一弱与七百八十步欲省数改设辛丙二百四十步改设乙辛一千八百二十三步弱两数各自乘并而开方得一千八百三十八步又十一之九弱为乙丙线【乙辛丙形之】则二百四十步与一千八百三十八步又十一之九弱为丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬线以壬丙线聨之辛乙乙丙两数并三千六百六十一步又十一之九弱与辛丙二百四十步为乙壬与壬丙之比例又改设壬丙六十六步改设乙壬一千零七步弱两数各自乘并而开方得一千零九步弱则六十六步与一千零九步弱为壬丙与乙丙之比例末平分壬乙丙角作乙庚线以庚丙线聨之乙庚与庚丙若壬乙并乙丙二千零一十六步又六之一与丙壬六十六步两数各自乘并而开方得二千零一十七步又四之一弱为乙丙线【乙庚丙形之】则庚丙与乙丙之比例为六十六步与二千零一十七步又四之一弱丙甲弧为全圜六分之一丙丁十二分之一丙辛二十四分之一丙壬四十八分之一丙庚九十六分之一是丙庚为九十六边内切圜形之一边也以六十六步乘九十六边得六千三百三十六步为九十六边内切形之周乙丙径为二千零一十七步又四之一弱约之径一周三又七十一之十强夫圜内切线为三又七十一之十尚强况圜周乎○按三又七十一之十设径一则周三一四零八四五零七零四二二有竒设周一则径三一八三八五六五零二二再约之径七十一步周二百二十三步三又七十之十设径一则周三一四二八五七一四二八五七有竒设周一则径三一八一八一八一八一八有竒再约之径七步周二十二步两数皆不能与周径脗合但径七周二十二其数少整姑从之
　　二则
　　圆周求径
　　设圆田周八十八步求径法曰置周为实以径法七因之【得六百一十六步】以周法二十二除之得二十八步即所求
　　解曰即前法反用之
　　三则
　　圆周径求积
　　设圆田周八十八步径二十八步求积法曰置周折半【得四十四步】为实以径折半【得一十四步】为法乘之得六百
　　一十六步即所求
　　解曰圆形与半径为高全周为底之
　　三角形等何也测量全义云甲乙丙
　　丁圜自戊心百分之必皆成三角形
　　而己戊甲其百分之一也次依甲戊半径作庚戊辛三角形令庚辛底与圜之全周等自戊角百分之亦必皆成三角形而甲戊壬其百分之一也己戊甲甲戊壬两分形己甲甲壬两底既等又戊甲同高因推其容必等夫百倍己戊甲为甲乙丙丁全圜百倍甲
　　戊壬为庚戊辛三角形两分形既等
　　两全形有不等乎故法以半径乘半
　　周得庚戊辛三角形之积即得甲乙
　　丙丁圜之积也○或云己戊甲虽全
　　圜百分之一其底终属曲线不可与
　　直线三角形为比不知甲戊壬角大
　　于己戊甲角而己戊甲中垂线大于
　　甲戊壬中垂线两相折准即谓之无
　　差亦可
　　四则
　　圆径求积
　　设圆田径二十八步求积法曰置径自乘【得七百八十四步】再以十一乘之【得八千六百二十四步】以十四除之得六百一十六步即所求
　　解曰测量全义云甲乙丙丁圜庚戊辛三角形以半径为高以圜周为底己壬为圜径上方形己丁直形以全径为濶以半径为高而为己壬方形之半己戊癸三角形亦以全径为濶半径为高而为己丁直形
　　之半己戊癸形既为己丁直形之半
　　必为倍大于己丁之己壬方形四之
　　一又己戊癸与庚戊辛两形同以半
　　径为高凡两形等高者形与形之比
　　例若线与线【两线即两底○一巻四十五则】今庚辛
　　底与圜周等己癸底与圜径等是己
　　戊癸庚戊辛两形之比例若圜径七
　　与圜周二十二若以四倍大于己戊
　　癸之己壬方形与庚戊辛三角形较
　　其比例必若二十八与二十二矣各以二约之为十四与十一夫庚戊辛三角形与圆形等【本巻三则】故方圆之比例亦若十四与十一法以圆径自乘求己壬方形之积也以十一乘十四除取方积十四分之十一以为圆积也
　　五则
　　圆周求积
　　设圆田周八十八步求积法曰置周自乘【得七千七百四十四步】以七因之【得五万四千二百零八步】以八十八除之得六百一
　　十六步即所求
　　解曰戊己庚辛圜
　　戊己径与甲乙丙
　　丁圜周等则两圜
　　之比例为其径与
　　径再加之比例再
　　加云者以两径各
　　自乘之数以为比
　　例也设甲乙径七
　　戊己径二十二甲乙自乘得四十九戊己自乘得四百八十四是两圜之比例若四十九与四百八十四又壬癸方形与戊己庚辛圜元若十四与十一【本巻四则】今戊己庚辛圜既为四百八十四壬癸方形必六百一十六是壬癸方形与甲乙丙丁圜必若六百一十六与四十九矣各以七约之为八十八与七法以圜周自乘即壬癸方形之积也以七乘八十八除取方积八十八分之七以为甲乙丙丁圜积也
　　六则
　　圆积求径
　　设圆田积六百一十六步求径法曰置积为实以十四乘之【得八千六百二十四步】以十一除之【得七百八十四步】平方开
　　之得二十八步即所求
　　解曰以十四乘十一除者因圜积以
　　求戊己方积也平方开之得方边即
　　得圜径者方边与圜径等也
　　七则
　　圆积求周
　　设圆田积六百一十六步求周法曰置积为实以八十八乘之【得五万四千二百零八步】以七除之【得七千七百四十四步】平方开之得八十八步即所求
　　解曰以八十八乘七除者因圜积以求圜周上方积也【本巻五则】故平方开之得圜周
　　八则
　　圆环求积
　　设环田外周六十六步内周一十一步求积法曰置内外两周各自乘【外周得四千三百五十六步内周得一百二十一步】两数相减【余四千二百三十五步】以七乘之【得二万九千六百四十五步】以八十八
　　除之得三百三十六步八分七厘五
　　毫即所求
　　解曰与方环求积同【一巻三十三则及本巻五则】

　　九则
　　圆环以积及内周求外周
　　设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫内周一十一步求外周法曰置积为实以八十八乘之【得二万九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】另置内周自乘【得一百二十一步】两数并【共四千三百五十六步】平方开之得六十六步即所求
　　解曰两数并共成周上方积故平方开之得外周十则
　　圆环以积及外周求内周
　　设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步求内周法曰置外周自乘【得四千三百五十六步】另置环积以八十八乘之【得二万九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】两数相减【余百二十一步】平方开之得一十一步即所求
　　解曰外周上方积减去八十八乘七除之环积所余即内周上方积也故平方开之得内周
　　十一则
　　圆环以积及内外周求环濶
　　设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步内周一十一步求环濶法曰置积为实以两周相并【共七十七步】折半【得三十八步五分】为法除之得八步七分五厘即所求
　　解曰全圆既同三角形则圆环必同梯形圆环之两周犹梯形之两濶也圆环之濶犹梯形之中长也故用梯形求长法【一巻四十八则】即得环濶
　　十二则
　　圆环以两周求环濶
　　设圆环田外周六十六步内周一十一步求环濶法曰置两周各以七乘之【外周得四百六十二步内周得七十七步】各以二十二除之【外周得二十一步内周得三步五分】两数相减【余一十七步五分】折半得八步七分五厘即所求
　　解曰外周所得者圆之全径也内周所得者环内虚径也全径减虚径所余即环之两濶故折半得一濶也
　　十三则
　　圆环以积及濶求两周
　　设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求两周法曰置积为实以濶除之得三十八步五分另置濶以二十二乘之【得一百九十二步五分】以七除之【得二十七步五分】与三十八步五分相并得六十六步即外周与三十八步五分相减得一十一步即内周解曰此亦梯形求濶法也法以环濶除积所得之三十八步五分即两环周之中度也环濶为全径与虚径相差之半以二十二乘七除则为内外两周相差之半矣故以之增减两周之中度得两周也
　　十四则
　　圆环以积及濶求径
　　设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求全径及虚径法曰置积以十四乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十一除之【得四百二十八步七分五厘】另置濶自乘【得七十六步五分六厘二毫五丝】以四因之【得三百零六步二分五厘】两数相减【余一百二十二步五分】为实以四因濶【得三十五步】为法除之得三步五分即虚径倍濶【得一十七步五分】加之得二十一步即全径
　　解曰置积以十四乘十一除者令圆环积化为方环积也余即方环求内方法【一巻五十六则】
　　十五则
　　圆环以全径及虚径求积
　　设圆环田全径二十一步虚径三步五分求积法曰置两径各自乘【全径得四百四十一步虚径得一十二步二分五厘】两数相减【余四百二十八步七分五厘】以十一乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十四除之得三百三十六步八分七厘五毫即所求解曰两径各自乘相减者求方环积也十一乘十四除者因方环积以求圆环积也
　　十六则
　　撱圆求积
　　设撱圆田大径九十步小径四十步求积法曰置两径相乘【得三千六百步】以十一乘之【得三万九千六百步】以十四除之得二千八百二十八步五分七厘有竒即所求
　　解曰西洋亚竒黙德云取撱
　　圆两径之中率为径作圆其
　　容与撱圆等【四九之中率为六谓四之与六
　　犹六之与九也】夫求中率之法以两
　　径相乘平方开之即得然中率自乘之数实即两径相乘之数故法以两径相乘十一乘十四除为撱圆积也【撱圆形状不同恐不能无小差】
　　十七则
　　弧矢求积
　　设弧矢田矢濶五步长一十七步三分二厘有竒背二十步零九分五厘二毫有竒离径五步求积法
　　曰置背以离径并矢【共十步】乘
　　之【得二百零九步五分二厘三毫有竒】另置
　　以离径乘之【得八十六步六分有竒】两
　　数相减【余一百二十二步九分二厘三毫有竒】
　　折半得六十一步四分六厘一毫有竒即所求解曰甲乙丙弧矢形戊为圜心自甲自乙作甲戊乙戊两线成甲戊乙丙杂线形其丙丁矢与丁戊离径并即全圆之半径甲丙乙背又为圆周之分线求积之法当与圆同夫圆以半径乘周折半得积【本巻三则】则杂线形亦必以半径乘背折半得积矣又杂线形内以甲乙线分之必成一甲乙丙弧矢形一甲戊乙三角形其三角形以甲乙为濶以丁戊离径为高若以高乘濶折半必得三角形之积【一巻五则】于杂线形内减去三角积所余非弧矢积而何故法以半径乘背离径乘相减折半得积也【相减而后折半与各折半而后相减得数同】十八则
　　弧矢形以积矢及离径求背
　　设弧矢田积六十一步四分六厘一毫有竒矢五步
　　一十七步三分二厘有竒离径五
　　步求背法曰置积倍之【得一百二十二步九分二
　　厘三毫有竒】另置以离径乘之【得八十六步六
　　分有竒】两数并【得二百零九步五分二厘三毫有竒】以矢
　　并离径【共十步】除之得二十步零九分五厘二毫有竒即所求
　　解曰即前则求积法反用之
　　十九则
　　弧矢形以矢求余径【求全径离径半径附】
　　设弧矢田矢五步一十七步三分二厘有竒求余径法曰置折半【得八步六分六厘有竒】自乘【得七十五步】以矢除之得一十五步即所求
　　解曰甲乙丙弧矢形丙丁为矢丁戊为离径丁己为
　　余径自圆心戊作
　　戊乙线成丁戊乙
　　勾股形丁乙半
　　为股丁戊离径为
　　勾戊乙半径为
　　另作辛夘形为丁
　　戊勾上方形庚壬形为戊乙上方形夫庚壬之大于辛夘者为癸丑子磬折形癸丑子磬折形必等于乙丁股上方形何也上方形与勾股上两方形并等故也【六巻一则】若移子于寅则成癸丑寅直形必以勾较为濶勾和为长今戊乙等于戊丙戊丙之大于丁戊勾者为丙丁是丙丁矢即勾较也故以矢除丁乙半【弧矢形之】自乘之积即得勾和又乙戊【勾股形之】既半径必与戊己等戊己合丁戊非丁己余径而何○求得余径加矢即全径减矢折半即离径加矢折半即半径
　　二十则
　　弧矢形以矢径求
　　设弧矢田矢五步径二十步求法曰以矢减径【余一十五步】以矢乘之【得七十五步】平方开之【得八步六分六厘有竒】倍之得一十七步三分二厘有竒即所求
　　解曰依前解矢与余径相乘之数即半自乘之数故平方开之得半倍之得全也
　　二十一则
　　弧矢形以离径半径求
　　设弧矢田半径十步离径五步求法曰置半径离径各自乘【半径得一百步离径得二十五步】两数相减【余七十五步】平方
　　开之【得八步六分六厘有竒】倍之得一十七步
　　三分二厘有竒即所求
　　解曰半径乙戊为【勾股形之】离径丁
　　戊为勾求得乙丁股即半也【弧矢形之】
　　【】故倍之得全
　　二十二则
　　弧矢形以及余径求矢
　　设弧矢田一十七步三分二厘有竒余径一十五步求矢法曰置折半【得八步六分六厘有竒】自乘【得七十五步】以余径除之得五步即所求
　　解曰依十九则解半自乘之数即矢偕余径相乘之数故以余径除之得矢
　　二十三则
　　弧矢形以及全径求矢
　　设弧矢田一十七步三分二厘有竒全径二十步求矢法曰置径各自乘【得三百步径得四百步】两数相减【余一百步】平方开之【得十步】以减全径【余十步】折半得五步即所求
　　解曰全径上方形当矢偕余径矩内形四及矢与余径之较线上方形一【一巻十三则】全上方形当半上方形四又半上方形与矢偕余径矩内形等【本巻十九则】于全径上方积内减去全上方积即减去矢偕余径矩内积四也则所余必矢与余径之较线上方积平方开之即得矢与余径之较线故以之减径折半得矢也
　　二十四则
　　弧矢形以半半径求矢
　　设弧矢田半八步六分六厘有竒半径十步求矢法曰置半半径各自乘【半得七十五步半径得一百步】两数相
　　减【余二十五步】平方开之【得五步】以减半径
　　得五步即所求
　　解曰半丁乙为股戊乙半径为
　　求得丁戊勾即离径也故以之减半
　　径得矢
　　二十五则
　　弧矢形以半及离径求矢
　　设弧矢田半八步六分六厘有竒离径五步求矢法曰置半离径各自乘【半得七十五步离径得二十五步】两数并【得一百步】平方开之【得十步】减去离径得五步即所求解曰半丁乙【图同前则】为股离径丁戊为勾求得乙戊即径也故减去离径得矢
　　二十六则
　　弧矢形以半径半较及半离径较求矢与设弧矢田半径多半一步三分四厘弱半多离径三步六分六厘强求矢及法曰并两数【共五步】以半径多半之数乘之【得六步七分】倍之【得一十三步四分】平方开之【得三步六分六厘】以加半径多半之数得五步即离径再加半多离径之数得八步六分六厘即半再加半径多半之数得十步即半径半径减去离径余五步即矢
　　解曰戊乙半径【图同二十四则】多于丁乙半之数即股较丁乙半多于丁戊离径之数即勾股较勾股较并股较即勾较此即勾较股较求勾股法也【六巻二十则】
　　二十七则
　　旧弧矢法以矢求积
　　设弧矢田矢十步二十步求积法曰置矢相并【共三十步】折半【得一十五步】以矢乘之得一百五十步即所求解曰旧説圆径一周三甲乙丙丁圆径二十步周六
　　十步甲乙丙弧矢形为全圆之半其
　　背为全周之半必三十步法以矢
　　相并即与弧背等折半以矢乘之犹
　　圆法以半径乘周折半得积之义也
　　【本巻三则】以旧法论全圆得积三百步而半圆之弧得积一百五十步与围三径一之数脗合无差过此以往其矢渐短弧形渐细其差渐多甚至百步之积有差至二十余步者即如十七则弧矢田一十七步三分二厘有竒矢五步依旧法求之止得积五十五步八分较前法所求之积则少五步六分六厘有竒前法虽密于旧法然必背矢皆具方可起算旧法有矢有即可得积故并存之
　　二十八则
　　旧弧矢法以积矢求
　　设弧矢田积五十五步八分矢五步求法曰置积倍之【得一百　十一步六分】以矢除之【得二十二步三分二厘】减去矢余
　　一十七步三分二厘即所求
　　解曰旧法以矢乘半半矢得弧矢
　　积若以矢除弧矢积必仍得半半
　　矢以矢除弧矢积既得半半矢以
　　矢除弧矢之倍积不得一一矢乎一一矢内减去一矢所余非而何
　　二十九则
　　旧弧矢法以积求矢
　　设弧矢田积五十五步八分一十七步三分二厘求矢法曰置积八因之【得四百四十六步四分】另置自乘【得二
　　百九十九步九分八厘二毫四丝】两数并【共七百四十六步三
　　分八厘二毫四丝】平方开之【得二十七步三分二厘】减
　　去【余十步】折半得五步即所求
　　解曰甲丁方形边与一二矢等甲
　　戊乙己丁庚丙辛各与矢等其戊己
　　等四直形即矢偕一一矢矩内形壬子即上方形也又弧矢形以矢乘半半矢得积【本巻二十七则】而当一直形之半则四直形必当八弧矢积矣是一二矢上方形与上方积一及弧矢积八并等反之则上方积一及弧矢积八并为一方其边必一二矢也法并两数以平方开之所得即一二矢之度故减折半得矢也○旧弧矢法背积及径辗转相求共三百二十六法实亦不出十七则以下十法之外其不能该者止以上三法耳故存之
　　三十则
　　增弧矢法以矢求积
　　设甲乙丙弧矢田丙丁矢五步甲乙一十七步三分二厘有竒求积法曰有矢与可得丁壬余径余径加矢可得丙壬全径【本卷十九则】甲己与丙壬等即以
　　甲己为甲乙为股求乙巳勾得十
　　步【六卷三则】为乙巳庚余弧之又将乙
　　己折半得巳辛复为勾戊巳半径为
　　求戊辛股以减半径【戊庚与戊巳等】余庚
　　辛一步三分四厘为乙己庚余弧之矢另求甲己径上半圆积【得一百五十七步一分四厘二毫八丝○本巻三则】次求甲乙己勾股积【得八十六步六分○一巻四则】与半圆积相减【余七十步零五分四厘二毫八丝】为甲乙丙与乙己庚两弧之共积置为实两弧各以三一矢相并以矢乘之【甲乙丙弧得二百八十四步八分乙己庚弧得四十一步九分九厘五毫六丝】以甲乙丙弧数乘实【得二万零九十步零五分八厘九毫四丝四忽】并两弧数【共三百二十六步七分九厘五毫六丝】除之得六十一步四分七厘七毫五丝有竒即所求
　　解曰此借两弧三一矢以矢乘之之数为比例以分共积也此法较旧法为密然大弧既盈则小弧必朒较十七则未免有千一之差如必欲得弧积眞数密量弧背从十七则可也
　　三十一则
　　圆截圆
　　设圆田径二十一步依外周截积三
　　百三十六步八分七厘五毫求余圆
　　径法曰置径自乘【得四百四十一步】另置截
　　积以十四乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十
　　一除之【得四百二十八步七分五厘】两数相减【余一十二步二分五厘】平方开之得三步五分即所求
　　解曰此与方环截积同【一巻五十六则】
　　三十二则
　　圆截弧矢【旧法】
　　设圆田径一十三步截弧矢积三十
　　二步求矢法曰置截积自乘【得一千零二十
　　四步】为实用商法商矢四步即以所商
　　之矢乘截积【得一百二十八步】为上亷另以
　　矢每步加负隅二分五厘【得五步】与径相减余八步为余径又以所商之矢自乘【得一十六步】以乘余径【得一百二十八步】为下亷并两亷【共二百五十六步】为法除实得四步即所求
　　解曰弧矢之积元以矢乘半半矢而得【本巻二十七则】若以半半矢相并除积必得矢法置截积自乘是倍截积为三十二若以三十二半与三十二半矢并除倍积必亦得矢法以矢乘截积得三十二全矢是多三十二半矢少三十二半若以半大于半矢
　　之数三十二倍之与三十二全矢并
　　即与三十二半三十二半矢相并
　　之数同今无半数须以矢乘余径
　　以为半自乘之方【本巻十九则】如甲乙
　　方形甲己为半甲丁为半矢丁己为半矢较【即半大于半矢之度】则丁己乙戊直形必半矢较以半为倍数者也庚辛等于丁己庚丙等于甲丁则庚丙戊辛直形必半矢较以半矢为倍数者也两直形并再以矢乘之必半矢较以截积三十二为倍数者也何也弧矢之积元以矢乘半半矢而得故也甲乙大方形减去丁己乙戊与庚丙戊辛两直形余甲丙小方形为甲丁半矢之幂法所谓负隅也负隅既为半矢之幂必为全矢幂四分之一故法以二分五厘为负隅也法用矢自乘以乘余径与用矢乘余径再以矢乘之得数同也○按元注云所得之矢过于所商之矢为约矢太短不及所商之矢为约矢太长宜更商之商约之法既无一定惟以意斟酌之若整齐之矢或一二商可得苟遇畸零之矢必至千百商不能得者古人于此条实无善法姑以此考验所商之合否耳若止欲考验所商之合否又何如以所商之矢求半【本巻二十则】再加半矢以矢乘之【本巻二十七则】合积为准过积为约矢太长不及积为约矢太短不较捷乎
　　三十三则
　　弧矢截杂线三角形
　　设半圆弧矢田二十步自心截杂线三角形背长一十步零四分七厘六毫一丝六忽求截积法曰置
　　截背以折半【得十步】乘之【得一百零四步七分
　　六厘一毫六丝】折半得五十二步三分八厘
　　零八丝即所求
　　解曰杂线三角形为圆之分形故求
　　积之法同圆【本巻三则】
　　三十四则
　　方内减圆以余积求圆积
　　设方田减去内切圆田四隅余积一百六十八步求圆积法曰置积为实以圆法十一乘之【得一千八百四十八步】
　　以圆法十一与方法十四相减余三
　　为法除之得六百一十六步即所求
　　解曰圆既为方十四分之十一则方
　　内减圆之余积必为方十四分之三
　　圆十一分之三矣故十一乘三归得圆积也
　　三十五则
　　方内减圆以余积求方积【求方边圆径附】
　　设方田减去内切圆田四隅余积一百六十八步求方积法曰置积为实以十四乘之【得二千三百五十二步】以圆法十一与方法十四相减余三为法归之得七百八十四步即所求
　　解同前○置方积平方开之即方边亦即圆径三十六则
　　圆内减方以余积求方积【求方边圆径附】
　　设圆田减去内切方田余积二百二
　　十四步求方积法曰置积为实以七
　　乘之【得一千五百六十八步】以七与圆法十一
　　相减余四为法归之得三百九十二
　　步即所求
　　解曰内切方形之与外切方形之边等则内切方形必倍小于外切方形而若七之与十四夫圆既为外方十四分之十一而内方不为圆十一分之七乎圆内减方之余积为圆十一分之四即为内方七分之四故七乘四除得内切方积也○置方积平方开之即得方边倍方积平方开之即得圆径
　　三十七则
　　圆内减方以余积求圆积
　　设圆田减去内切方田余积二百二十四步求圆积法曰置积为实以圆法十一乘之【得二千四百六十四步】以圆法十一与七相减余四为法归之得六百一十六步即所求
　　解同前
　　三十八则
　　方内减不相切之圆以余积求方边及圆径
　　设方田内减圆田方边至圆周五步余积一千七百二十五步求方边及圆径法曰置五步自乘【得二十五步】以三因之【得七十五步】与余积并【共一千八百步】另置五步以六因之【得三十步】为纵方以平方带纵开之【得九十步　一巻十三则】减
　　去纵方余六十步即方边再
　　减两边各五步【共十步】余五十
　　步即圆径
　　解曰依图分之成甲乙等方
　　形四子丑等直形八干坎等
　　杂线三角形四其甲乙等四形即方边至圆周五步自乘之方形也子丑等八形亦各以五步为濶其长
　　则圆之半径也干坎等四形
　　为方减内切圆形之余积以
　　方四圆三推之【旧法谓方内容圆圆居方
　　四分之三】四形并必当方四分之
　　一干坎艮三形并必足以补
　　癸形之阙而与一小方二直
　　形一杂形并共凑成一坤震
　　方形矣次移甲于丁移乙于
　　戊移丙于己移子于午移丑于未移寅于申移夘于酉移辰于戌移巳于亥尚阙庚辛壬三形故法取方边至圆周之五步自乘以三因之加入积内也自壬至丁凡六形每形濶五步共计三十步故法取方边至圆周之五步以六因之为纵方也带纵开方法置积四因之纵方自乘两数并平方开之得长濶相和之度【即兑巽与巽震并】减去纵方【即兑坤】余两濶【即坤巽与巽震并】即方边方边之大于圆径者为两边之各五步故减之得圆径【本则及下则皆用周三径一法】
　　三十九则
　　圆内减不相切之方以余积求圆径及方
　　设圆田内减方田圆周至方角一步余积四十三步
　　求圆径及方法曰置一步
　　自乘【仍得一步】以二因之【得二步】与
　　余积并【并四十五步】另置一步以
　　四因之【得四步】为纵方以平方
　　带纵开之【得一十四步】减去纵方
　　即圆径再减圆周至方角各一步【共二步】余八步即方
　　解曰依内方角作一圆线此圆线偕外圆周必成一圆环形次依环濶改作方环圆环当方环四分之三
　　故止作方环之三隅即与圆
　　环等依图分之成甲乙丙三
　　方形丁戊己庚辛壬六直形
　　尚余癸子丑寅四弧矢形为
　　圆减内切方形之余积以圆
　　三方二推之【旧法谓圆内容方方居圆三分
　　之二】四弧矢形并当圆三分之
　　一必当内方二分之一而夘癸辰方形亦当内方二分之一则四弧矢形必能补夘癸辰方形之阙而与辛壬丙三形并共辏成一震坎方形矣次移甲于巳移乙于午移丁于酉移戊于戌移己于亥移庚于干尚阙未申二形故法取圆周至方角一步自乘二因之补入积内也自巳至申凡四形每形濶一步共四步故取圆周至方角之一步四因之为纵方也以平方带纵开之得巽艮艮坎长濶相和之度减去纵方巽震余震艮艮坎两濶即圆径圆径之大于方者为两边之各一步故减之得方
　　四十则
　　诸杂线形求积
　　第一图可作一弧矢形而减一弧矢形第二图可作半弧矢形而减半弧矢形第三图可作两弧矢形第四图移甲丙实形补乙丁虚形成戊三角形又移己实形补庚虚形成辛三角形壬癸子各成三角形丑自成弧矢形此一大形内成三角形五弧矢形一第五图甲乙各自成弧矢形丙丁辛各自成三角形移
　　戊实形补
　　己虚形庚
　　亦成三角
　　形癸借壬
　　虚形亦成
　　三角形【得积
　　减去壬圆形】此
　　一大形内
　　成弧矢形二三角形五而减一圆形凡属杂线形者【裁之数学钥巻二】

　　皆依五形例
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
　　钦定四库全书
　　数学钥卷三凡例
　　柘城杜知耕撰
　　凡例
　　一则
　　设一数与甲乙两率为同名与丙丁两率为异名置所设之数为实以甲乘丙除曰同乘异除以丙乘甲除曰异乗同除以丙乘甲得数乘实曰异乘同乘【与以丙乘复以甲乘同】以丙乘甲得数除实曰异除同除【与以丙除复以甲除同】以丙乘丁除曰异乘异除以甲乘乙除曰同乘同除
　　二则
　　设一数以一率除二率乘又以三率除四率乘又以五率除六率乘方得所求变为以四率乘二率复以六率乘之得数乘实以三率乘一率复以五率乗之得数除实即得所求亦曰同乘同除
　　三则
　　凡用一率除二率乘者则变为先以二率乘后以一率除凡用一率除复用二率除者则变为以一率乘二率得数除实恐归除多有畸零不尽之数也
　　四则
　　设甲乙丙三率以甲乘乙以乙乘丙曰逓乘以甲乘乙以乙乘丙以丙复乘甲曰维乘以甲乘乙复以乙乘甲曰互乘以甲乘乙复乘丙曰遍
　　五则
　　命分数曰母得分数曰子母数者子之本数子数者母之分数
　　六则
　　设两数一为法一为实以法除实得若干将法实任各若干倍之以倍法除倍实必仍得若干与原得数同若以倍法除元实则得数小于元得数之倍数即同元法小于倍法之倍数若以元法除倍实则得数大于元得数之倍数即倍实大于元实之倍数如元实为六十元法为五十以五十除六十得十二任三倍元实为一百八十亦三倍元法为一百五十以一百五十除一百八十亦得十二与元得数同以倍法一百五十除元实六十得四则四与元得数十二之比例若元法五十与倍法一百五十也以元法五十除倍实一百八十得三十六则三十六与元得数十二之比例若倍实一百八十与元实六十也

　　数学钥巻三凡例
　　钦定四库全书
　　数学钥巻三上目録
　　柘城杜知耕撰
　　粟布
　　一则籴粜一法
　　二则籴粜二法
　　三则籴粜三法
　　四则籴粜四法
　　五则籴粜五法
　　六则籴粜六法
　　七则籴粜七法
　　八则籴粜八法
　　九则撞换一法
　　十则撞换二法
　　十一则撞换三法
　　十二则盘量仓窖
　　十三则布帛
　　十四则银色一法
　　十五则银色二法
　　十六则银色三法
　　十七则银色四法
　　十八则银色五法
　　十九则银色六法
　　二十则斤两一法
　　二十一则斤两二法
　　二十二则斤两三法
　　二十三则斤两四法
　　二十四则斤两五法
　　二十五则斤两六法
　　二十六则权重一法
　　二十七则权重二法
　　【増】二十八则权重三法
　　巻三下目録
　　衰分
　　一则合率差分
　　二则折半差分
　　三则四六差分
　　四则三七差分
　　五则二八差分
　　六则逓减差分一法
　　七则逓减差分二法
　　八则逓减差分三法
　　九则带分子母差分一法
　　十则带分子母差分二法
　　十一则互和逓减差分一法
　　十二则互和逓减差分二法
　　十三则匿价差分一法
　　十四则匿价差分二法
　　十五则二色差分
　　十六则三色差分【四色五色六色附】
　　十七则贵贱和率差分
　　十八则首尾和率差分
　　附分法
　　一则命分
　　二则约分
　　三则乗分
　　四则课分
　　五则通分

　　数学钥巻三目録
　　钦定四库全书
　　数学钥巻三上
　　柘城杜知耕撰
　　粟布
　　一则
　　籴粜一法
　　设粟三十五石每石价银二钱五分求共银法曰置粟为实以价乘之得八两七钱五分即所求
　　二则
　　籴粜二法
　　设粟三十五石卖银八两七钱五分求每石价法曰置银为实以粟除之得二钱五分即所求
　　三则
　　籴粜三法
　　设粟每石价银二钱五分今有银八两七钱五分求值粟法曰置银为实以价除之得三十五石即所求四则
　　籴粜四法
　　设银八两七钱五分共买粟三十五石求每银一两值粟若干法曰置粟为实以银除之得四石即所求解曰凡以物交易或论个论斛论斤论尺之类莫不有数有价以价乘共物则得共银以价除共银则得共物以共物除共银则得每一物所值之价以共银除共物则得每银一两或一钱或一分所值之物交易常用之法尽于此矣
　　五则
　　籴粜五法
　　设原有粟二石六斗卖银六钱五分今有粟三十五石求值银法曰置今粟为实以原价乘之【得二十二两七钱五分】以原粟除之得八两七钱五分即所求
　　解曰此异乘同除也银与粟异名以原银乘今粟故谓异乘粟与粟同名以原粟除今粟故谓同除若以原粟除原价得每石价以乘今粟或先以原粟除今粟再以原价乘之俱未尝不合但先用归除恐遇竒零不尽之数难用乘法故变为先乘后除也
　　六则
　　籴粜六法
　　设原有银三十两零七钱五分买粟一百二十三石今有银八两七钱五分求值粟法曰置今银为实以原粟乘之【得一千零七十六两二钱五分】以原银除之得三十五石即所求
　　解同前
　　七则
　　籴粜七法
　　设原银五钱买米一石每米八斗五升换粟一石七斗今有银八两七钱五分求值粟法曰以今银八两七钱五分乘粟一石七斗【得一十四两八钱七分五厘】为实以米价五钱乘米八斗五升【得四钱二分五厘】为法除之得三十五石即所求
　　解曰米八斗五升粟一石七斗其价等法以米价乘米所得之四钱二分五厘既为八斗五升之米价亦一石七斗之粟价也以粟乘银以价除之亦异乘同除法也
　　八则
　　籴粜八法
　　设粟一石七斗换米八斗五升每米一石价银五钱今有粟三十五石求值银法曰置米八斗五升以米价五钱乘之【得四钱二分五厘】再以今粟三十五石乘之【得一十四两八钱七分五厘】为实以粟一石七斗除之得银八两七钱五分即所求
　　解同前
　　九则
　　撞换一法
　　设稻每石价六钱二分五厘粟每石价二钱五分今有稻一十四石换粟求粟数法曰置稻一十四石为实以稻价乘之【得八两七钱五分】以粟价除之得三十五石即所求
　　十则
　　撞换二法
　　设每菽三斗换黍二斗每黍四斗换稷三斗每稷五斗换稻四斗每稻六斗换麦五斗今有麦七斗换菽求菽数法曰以今麦七斗乘每稻六斗【得四石二斗】再以每稷五斗乗之【得二十一石】再以每黍四斗黍之【得八十四石】再以每菽三斗乘之【得二百五十二石】为实以换黍二斗乘换稷三斗【得六斗】再以换稻四斗乘之【得二石四斗】再以换麦五斗乘之【得一十二石】为法除之得二石一斗即所求解曰若置麦七斗为实以换麦五斗除之以每稻六斗乘之得八斗四升为麦七斗应换之稻再以八斗四升为实以换稻四斗除之以每稷五斗乘之得一石零五升为麦七斗应换之稷再以一石零五升为实以换稷三斗除之以每黍四斗乘之得一石四斗为麦七斗应换之黍再以一石四斗为实以换黍二斗除之以每菽三斗乘之得二石一斗为麦七斗应换之菽凡四除四乘方得菽数今逓乘为实逓乘为法一次归除即得所求非徒省力亦免遇畸零之数难于布算耳
　　十一则
　　撞换三法
　　设黍一石换菽三石每黍三石换麦一石今黍三十三石共换菽麦一十九石求菽麦各若干法曰列黍
　　三石黍一石共黍
　　三十三石于左列
　　麦一石菽三石共
　　菽麦一十九石于
　　右先以右上互乘
　　左中【仍得一石】以左上互乘右中【得九石】两数相减【余八石】为长法次以左中互乘右下【仍得一十九石】以右中互乘左下【得九十九石】两数相减【余八十石】以长法除之【得一十石】为短法以麦一石乘短法仍得十石为麦数以黍三石乘短法得三十石为换麦黍数以麦数减共菽数余九石为菽数以换麦黍数减共黍余三石为换菽黍数【解见三巻下十七则】
　　十二则
　　盘量仓窖
　　设直仓底长七尺濶五尺髙八尺求容粟数法曰以底濶乘长【得三十五尺】再以髙乘之【得二百八十尺】为实取木板四块如图错综合之令纵广及髙各一尺纳粟于内令平以升量之假如一斗二升即以之为法乘实得
　　三十三石六
　　斗即所求
　　解曰仓窖形
　　状不一求积
　　法俱详四巻
　　十三则
　　布帛
　　设原买布长四十尺濶二尺二寸价银七钱五分今有布长三十六尺濶一尺八寸求价法曰置今布长三十六尺以濶一尺八寸乘之【得六十四尺八寸】再以原价七钱五分乘之【得四十八两六钱】为实另置原布长四十尺以濶二尺二寸乘之【得八十八尺】为法除实得五钱五分二厘二毫有竒即所求
　　十四则
　　银色一法
　　设九三色银一两二钱倾销足色求银数法曰置银一两二钱为实以银色九三乘之得一两一钱一分六厘即所求
　　十五则
　　银色一法
　　设足色银一两一钱一分六厘改倾九三色求银数法曰置银一两一钱一分六厘为实以九三除之得一两二钱即所求
　　十六则
　　银色三法
　　设八五色银五两六钱改倾九五色银求银数法曰置银五两六钱为实以八五乘之【得四两七钱六分】再以九五除之得五两零一分零五毫即所求
　　十七则
　　银色四法
　　设足色银七两六钱五分倾成九两求银色法曰置银七两六钱五分为实以九两除之得八五即所求十八则
　　银色五法
　　设足色银三十五两二钱改倾八八色银求加铜数法曰置银三十五两二钱为实以八八除之【得四十两】与原银相减余四两八钱即所求
　　十九则
　　银色六法
　　设倾八八色银用铜四两八钱求用银数法曰置铜四两八钱为实以八八与一两相减余一钱二分为法除之【得四十两】与铜数相减余三十五两二钱即所求二十则
　　斤两一法
　　设物重一千四十两求斤法曰置物重为实以斤法十六除之得六十五斤即所求
　　二十一则
　　斤两二法
　　设物重六十五斤求两法曰置物重为实以斤法十六乘之得一千四十两即所求
　　二十二则
　　斤两三法
　　设物重六十五斤四两每斤价二钱五分求共价法曰先取四两以斤法十六除之【得二五】并六十五斤之下【成六五二五】为实以价乘之得一十六两三钱一分二厘五毫即所求
　　二十三则
　　斤两四法
　　设物每斤价二钱五分今银一十六两三钱一分二厘五毫求值物重法曰置今银为实以价为法除之得六十五斤二五取斤下二五以斤法十六乘之得四两共六十五斤四两即所求
　　二十四则
　　斤两五法
　　设物每斤价四两求每两价法曰置每斤价为实以斤法十六除之得二钱五分即所求
　　二十五则
　　斤两六法
　　设物每两价二钱五分求斤价法曰置每两价为实以斤法十六乘之得四两即所求
　　二十六则
　　权重一法
　　设秤原锤重二十六两遇重物不能胜另取一物重四十六两八钱作锤秤之得一千零七十二两求物重真数法曰置物重一千零七十二两为实以借用作锤之四十六两八钱乘之【得五万零一百六十九两六钱】再以原锤二十六两除之得一千九百二十九两六钱即所求
　　解曰借用之锤重于原锤若干倍则借用之锤所秤之物重亦重于原锤所秤之物重若干倍以原锤除借用之锤得一八是借用之锤重于原锤十分之八也则于借用锤所秤之一千零七十二两以十分之八加之必得一千九百二十九两六钱为原锤所秤之重法先乘后除者亦异乘同除也【本巻五则】
　　二十七则
　　权重二法
　　设秤失其锤止有原秤过轻重二物重者重一千九百二十九两六钱轻者重四十六两八钱以轻者作锤秤重者得一千零七十二两求原锤重法曰置四十六两八钱为实以一千零七十二两乘之【得五万零一百六十九两六钱】以一千九百二十九两六钱除之得二十六两即所求
　　解曰一千九百二十九两六钱之与一千零七十二两若四十六两八钱之与原锤也故以之乘除得原锤之重
　　二十八则
　　权重三法
　　设秤失其锤有轻重两物不知斤两以轻者作锤秤重者得五十二两以重者作锤秤轻者得一十三两求原锤重法曰置两数相乘【得六百七十六两】平方开之得二十六两即所求
　　解曰两数之中率即原锤之重两数相乘平方开之求中率之法也【二巻十六则】○又法以等重二物一作锤一作物秤之所得之数即原锤之重○按以上三法用之于平星提索同居一位之秤虽有微差尚可得近似之数至于平星提索不同一位相去愈逺其差愈多甚至与真数悬絶留心此道者不可不知也数学钥巻三上
　　钦定四库全书
　　数学钥巻三下
　　柘城杜知耕撰
　　衰分【诸分附】
　　一则
　　合率差分
　　设有银一百二十一两一钱七分五厘买稻麦菽三等粮买稻一分每斗价九分二厘麦二分毎斗价八分五厘菽三分每斗价三分六厘求三色粮各若干法曰置共银为实另二因麦价【得一钱七分】三因菽价【得一钱零八厘】与稻价并【共三钱七分】为法除实得三十二石七斗五升为稻数二因稻数得六十五石五斗为麦数三因稻数得九十八石二斗五升为菽数
　　解曰稻一麦二菽三共六衰而稻为六分之一麦为六分之二菽为六分之三二因麦价者令麦二倍于稻也三因菽价者令菽三倍于稻也合二与三得五是麦菽得五而稻得一则稻为六分之一矣故并价除实即得稻数也麦原二倍于稻故二因稻数得麦数菽原三倍于稻故三因稻数得菽数○如求各银数则以各价乘各数即得
　　二则
　　折半差分
　　设银六百七十二两令甲乙丙三等人折半纳之求各应纳银数法曰置共银为实定丙为一衰乙倍丙为二衰甲倍乙为四衰并之共七衰为法除实得九十六两为丙数二因丙数得一百九十二两为乙数二因乙数得三百八十四两为甲数
　　解曰所谓折半者令乙半于甲丙半于乙以一为丙衰倍一得二为乙衰乙倍于丙即丙半于乙也倍二得四为甲衰甲倍于乙即乙半于甲也并之共得七衰而丙为七分之一故以七除实得丙数余同前解三则
　　四六差分
　　设银八百一十二两五钱令甲乙丙丁四等人四六纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定丁为四衰以一五乘四得六为丙衰再以一五乘六得九为乙衰再以一五乘九得十三衰五分为甲衰并之共三十二衰五分为法除实得二十五两为一衰之数四因二十五两得一百两为丁数六因二十五两得一百五十两为丙数九因二十五两得二百二十五两为乙数以十三衰五分乗二十五两得三百三十七两五钱为甲数
　　解曰定衰之法当六乘四除今用一五乘何也葢四之于六若一与一五也以一五乘四得六乘六得九乗九得十三五而十三五之与九九之与六皆若六之与四也并四数共三十二衰半除实所得银数即原银三十二分五厘之一而丁应纳者则三十二分五厘之四故四因一衰之数得丁数也余同前解四则
　　三七差分
　　设有银一千九百七十五两令甲乙丙三等人三七纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定丙为九衰七因三归得二十一为乙衰再七因三归得四十九为甲衰并之共七十九衰为法除实得二十五两为一衰之数九因之得二百二十五两为丙数以二十一乘之得五百二十五两为乙数以四十九乘之得一千二百二十五两为甲数
　　解曰不以三为丙衰而以九为丙衰者以三为丙衰则不能得甲衰也何也试定三为丙衰七为乙衰七因三归则得一六三三不尽定九为丙衰正为甲衰地也若甲乙丙丁四位则九又不可为丁衰必三倍之得二十七为丁衰若五位又三倍二十七得八十一为戊衰位多者仿此
　　五则
　　二八差分
　　设有银一千零五十两令甲乙丙三等人二八纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定二为丙衰四因二得八为乙衰四因八得三十二为甲衰并之共四十二衰为法除实得二十五两为一衰之数二因之得五十两为丙数八因之得二百两为乙数三十二乘之得八百两为甲数
　　解曰逓以四因定衰者以八四倍于二也
　　六则
　　逓减差分一法
　　设米一千一百三十四石令五等人户逓减纳之一等二十四戸二等三十三戸三等四十二戸四等五十一戸五等六十户求毎等及毎戸应纳银数法曰置共米为实先定五等六十戸为六十衰二因四等戸数得一百零二衰三因三等戸数得一百二十六衰四因二等戸数得一百三十二衰五因一等戸数得一百二十衰五数并共五百四十衰为法除实得二石一斗为第五等每戸纳数以五等六十戸乘之得一百二十六石为第五等共纳数以二因二石一斗得四石二斗为第四等毎戸纳数以四等五十一戸乘之得二百一十四石二斗为第四等共纳数以三因二石一斗得六石三斗为第三等毎戸纳数以三等四十二戸乘之得二百六十四石六斗为第三等共纳数以四因二石一斗得八石四斗为第二等每户纳数以二等三十三戸乗之得二百七十七石二斗为第二等共纳数以五因二石一斗得十石零五斗为第一等每戸纳数以一等二十四戸乘之得二百五十二石为第一等共纳数
　　解同本巻一则
　　七则
　　逓减差分二法
　　设有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人纳之定甲乙二人纳数与丙丁戊三人纳数等求各应纳米数法曰置共米为实先以一为戊衰二为丁衰三为丙衰四为乙衰五为甲衰次并戊一丁二丙三得六并乙四甲五得九以六减九余三于每人衰数各増三戊得四衰丁得五衰丙得六衰乙得七衰甲得八衰并之共三十衰为法除实得八石为一衰之数四因之得三十二石为戊数五因之得四十石为丁数六因之得四十八石为丙数七因之得五十六石为乙数八因之得六十四石为甲数
　　解曰若六位令丙丁戊己四人与甲乙二人纳数等则并己一戊二丁三丙四共十并乙五甲六共十一两数相减余一为实另以甲乙二人与丙丁戊己四人相减余二人为法归之得五各加入每人衰数己得一五戊得二五丁得三五丙得四五乙得五五甲得六五若七位令丙丁戊己庚五人与甲乙二人纳数等并庚一己二戊三丁四丙五共十五并乙六甲七共十三是四人衰数反多于二人衰数前法不行矣则置各衰自乘庚得一己得四戊得九丁得十六丙得二十五并之共五十五乙得三十六甲得四十九并之共八十五两数相减余三十为实另以甲乙二人与丙丁戊己庚五人相减余三人为法归之得十各加入每人衰数庚得十一己得十四戊得十九丁得二十六丙得三十五乙得四十六甲得五十九余仿此
　　八则
　　逓减差分三法
　　设米二百六十五石令三等人戸纳之上等二十戸每戸多中等七斗中等五十戸每戸多下等五斗下等一百一十戸求各应纳米数法曰置共米为实并七斗五斗【共一石二斗】乘上等尸数【得二十四石】以五斗因中等尸数【得二十五石】两数并【共四十九石】减实余二百一十六石并三等尸数【共一百八十戸】为法除之得一石二斗为下等纳数加五斗共一石七斗为中等纳数再加七斗共二石四斗为上等纳数以每等纳数乘每等戸数得每等共纳数
　　解曰共米内减去上中两等多于下等米数所余即一百八十戸均平公纳之米除实得一石二斗即每戸均纳之数均纳之数即下等每戸应纳之数也故加五斗得中等每戸纳数再加七斗得上等每戸纳数
　　九则
　　带分子母差分一法
　　设甲乙丙三人纳银令乙纳甲数六分之五丙纳甲数四分之三乙多丙纳银八两求共银及各应纳银数法曰列母四子三于左母六子五于右右上互乘左下得十八左上互乘右下得二十左上右上相乘得二十四以十八减二十余二为法另以乙多丙八两乘二十四【得一百九十二两】以法除之得九十六两即甲
　　数以八两乘二十【得一百六十两】以法除之得八十两即乙
　　数以八两乘十八【得一百四十四
　　两】以法除之得七十二两
　　即丙数并之得二百四十
　　八两即共银数
　　解曰此借比例以求真数也二十四与二十六分之五也二十四与十八四分之三也六分之五之二十较四分之三之十八多二六分之五之乙数较四分之三之丙数却多八两则二十四之与甲数二十之与乙数十八之与丙数其比例必皆若二与八也故八乘二除各得真数也
　　十则
　　带分子母差分二法
　　设布一十二万四千四百八十五疋给散军士每三名给袄布七疋每四名给裤布五疋求军数法曰列三名七疋于右四名五疋于左右上互乘左下【得十五】左上互乘右下【得二十八】并之【共四十三】为法另以左上右上
　　相乘【得一十二】以乘共布【得一百四
　　十九万三千八百二十疋】以法除之得
　　三万四千七百四十名即
　　所求
　　解曰十二为三名者四当
　　给袄布二十八疋为四名者三当给裤布一十五疋是毎军士十二名给布四十三疋也反之每给布四十三疋得军士一十二名也故十二乘四十三除得军数也
　　十一则
　　互和逓减差分一法
　　设米一百八十石令甲乙丙三人逓减纳之定甲多丙米三十六石求各应纳米数法曰置共米以人数归之得六十石为乙数另置甲多丙数折半【得一十八石】加乙数得七十八石为甲数减乙数得四十二石为丙数
　　解曰甲多于乙数必为甲多于丙数之半丙少于乙数亦必为丙少于甲数之半两相折凖是甲丙共得三分之二而乙自得三分之一故三归之得乙数加减之得甲与丙数也
　　十二则
　　互和逓减差分二法
　　设令甲乙丙丁四人逓减纳银定甲纳六十九两丁纳五十一两求乙丙应纳数及共银数法曰以丁数减甲数【余一十八两】三归之得六两加丁数得五十七两为丙数加丙数得六十三两为乙数并之共二百四十两为共银数
　　解曰甲多于乙乙多于丙丙多于丁三数并与甲多于丁数等故三归得每率逓差之数凡四位以上皆取首尾两数相减五位则四归之六位则五归之七位则六归之即得每率逓差之数余同前
　　十三则
　　匿价差分一法
　　设银一百八十两零二钱五分买麦六十五石菽二十五石麦每石多菽价一两零七分求各价法曰置麦以麦多菽价乗之【得六十九两五钱五分】以减元银【余一百一十两零七钱】并麦菽两数除之得一两二钱三分即菽价加麦多菽价得二两三钱即麦价
　　解曰减去麦多菽价余银即菽九十石之共价故以九十石归之得菽价
　　十四则
　　匿价差分二法
　　设稻一十八石稷二十二石其值适等交换五石则两率差银一两六钱二分五厘求各价法曰置一两六钱二分五厘以交换五石归之得三钱二分五厘以乗稻一十八石【得五两八钱五分】另以稻一十八石减稷二十二石余四石为法除之得一两四钱六分二厘五毫即稷价另以三钱二分五厘乗稷二十二石【得七两一钱五分】以前法除之得一两七钱八分七厘五毫即稻价
　　解曰交换五石两率相差一两六钱二分五厘则一两六钱二分五厘必稻五石多稷五石之价也以五归之得三钱二分五厘即稻稷每石相差之价稻稷既每石相差三钱二分五厘则一十八石必差五两八钱五分矣今稷多稻四石而价适等是稷四石之价必五两八钱五分也故四归之得稷价又稻与稷价之比例原若十八与二十二既以三钱二分五厘乗稻一十八石得稷每四石之价则以三钱二分五厘乗稷二十二石必得稻每四石之价无疑矣故四归之得稻价
　　十五则
　　二色差分
　　设银六十七两五钱共买稻菽一百石稻毎石价八钱菽毎石价三钱求稻菽各若干法曰以菽价乗共一百石【得三十两】以减原银【余三十七两五钱】为实以两价相减【余五钱】为法除之得七十五石即稻数以减共一百石余二十五石即菽数
　　解曰原银为稻菽共百石之价以菽价乗百石为菽百石之价两率不等者以稻贵于菽也今稻毎石多菽价五钱是两率毎相差五钱百石内必有稻一石两率相减余银三十七两五钱凡为五钱者七十五故得稻七十五石也
　　十六则
　　三色差分【四色五色六色附】
　　设银十两零五钱共买稻麦菽一十八石稻每石价八钱麦每石价六钱菽毎石价三钱求三色各若干法曰置共粮以三归之得六石为麦数以麦价因之得三两六钱为麦共价另以麦数减共粮【余一十二石】以菽价因之【得三两六钱】另以麦共价减原银【余六两九钱】两数相减【余三两三钱】为实稻菽两价相减【余五钱】为法除之得六石六斗为稻数以稻麦两数减共粮余五石四斗为菽数
　　解曰若四色则四归共物得若干即第二色数亦即第三色数以第二色价乗之得第二色共价以第三色价乗之得第三色共价以两数减共物两共价减原银余依二色差分法求之五色则五归六色则六归之仿此○按三色以上亦可与共物共价相合无差然实非一定不易之数即前三色论之设稻九石共价七两二钱麦二石共价一两二钱菽七石共价二两一钱亦与原银共粮共价皆合而与上法所求三色之数不同
　　十七则
　　贵贱和率差分
　　设银一百二十七两五钱共买稻麦一百零八石毎稻三石价四两毎麦四石价三两五钱求二色数及价各若干法曰列稻三石麦四石共稻麦一百零八石于右次列稻价四两麦价三两五钱原银一百二十七两五钱于左以右上互乘左中【得十两零五钱】以左上互乘右中【得一十六两】两数相减余五两五钱为长法次
　　以右中互乗左下
　　【得五百一十两】以左中互
　　乗右下【得三百七十八两】两数相减【余一百三十二
　　两】以长法除之得
　　二十四为短法以稻三石乗短法得七十二石即稻数以稻价乗短法得九十六两即稻共价以稻数减共稻麦一百零八石余三十六石即麦数以稻共价减原银一百二十七两五钱余三十一两五钱即麦共价
　　解曰此与前二色差分同但彼数齐此数不齐耳凡数之不齐者必假一数以齐之今稻三石麦四石则以十二齐之何为必齐之十二也十二为四倍稻三石三倍麦四石之数也以稻三乗麦价即得麦十二石之价以麦四乗稻价即稻十二石之价两数相减为长法者即稻十二石多于麦十二石之银数亦即稻四石多于麦四石之价又三倍之之数也以麦价乗共稻麦一百零八石即麦四百三十二石之价亦即一百零八石尽皆为麦而又四倍其价之数也以麦四乗原银即稻麦四百三十二石之共价亦即稻麦一百零八石之原价而又四倍之之数也两数相减之余即麦四百三十二石少于稻麦共四百三十二石之价实即稻七十二石多于麦七十二石之价又四倍之之数也以之为实若以稻四石多于麦四石之价除之必得稻七十二石今稻四石多于麦四石之价不可得止得稻十二石多于麦十二石之价为长法除实得二十四二十四者即为稻三石者二十四也【十二石三倍多于四石二十四三倍少于七十二石葢法増若干倍得数即减若干倍也】故为短法以稻三石乗之得稻数以稻价乗之得共稻价○若欲先得麦数则以稻三石乗元银以稻价乗共稻麦数两数相减以长法除之得数为短法以麦四石乗之得麦数以麦价乗之得共麦价【解同前】○按此条当列稻三石价四两共稻麦一百零八石于右列麦四石价三两五钱共银一百二十七两五钱于左以左上互乗右中【得一十六两】以右上互乗右中【得十两零五钱】两数相减【余五两五钱】为法次以左上右上相乗【得一
　　十二石】以乗左下【得一
　　千五百三十两】以左中十
　　两零五钱乗右下
　　【得一千一百三十四两】两数
　　相减【余三百九十六两】为
　　实以法除之得七十二石即稻数似较旧法更捷○旧法以十二倍之法除四倍之实故止得二十四以稻三石乗之方得稻数后法以十二倍之法除十二倍之实故一除即得稻数无须再乗也
　　十八则
　　首尾两和差分
　　设十人挨次逓减纳银甲乙丙三人共纳一十三两八钱庚辛壬癸四人共纳一十三两求各应纳银数
　　法曰列三人于右
　　上定甲九衰乙八
　　衰丙七衰共二十
　　四衰列于右中三
　　人纳数列于右下
　　次列四人于左上定庚三衰辛二衰壬一衰共六衰列于左中四人纳数列于左下先以右上徧乗左行【中得一十八衰下得三十九两六钱】次以左上徧乗右行【中得九十六衰下得五十五两二钱】以两下对减【余一十五两六钱】为实两中对减【余七十八衰】为法除之得二钱【为十人挨次逓减之数】另以右上归右下得四两六钱为乙数加乙二钱得四两八钱为甲数减乙二钱得四两四钱为丙数减丙二钱得四两二钱为丁数以下各逓减二钱得应纳银数
　　解曰首三人尾四人两数不齐不可相减以求首尾相差之数故互乗以齐之夫左下尾四人共纳之银数也以右上三人乗之得三十九两六钱即三倍尾四人为一十二人之纳数右下首三人共纳之银数也以左上四人乘之得五十五两二钱即四倍首三人亦为一十二人之纳数对减之余即首十二人多于尾十二人之纳数故以为实左中尾四人之衰数以右上三人乗之得十八即三倍尾四人为一十二人之衰数右中首三人之衰数以左上四人乗之得九十六即四倍首三人亦为一十二人之衰数对减之余即首十二人多于尾十二人之衰数故以为法以法除实所得非一衰之银数而何一衰之银数即十人挨次逓减之数也以右上三人归右下纳数即得乙数何也葢乙多于丙者即甲多于乙者也减甲之多补丙之少则成三平数乙居甲丙之中故三归之得平数即得乙数也

　　数学钥巻三下
　　钦定四库全书
　　数学钥巻三附
　　柘城杜知耕撰
　　分法
　　一则
　　命分
　　设银四十两三人分之求毎人应分银数法曰置银为实以人数除之得一十三两余一不尽则以法为分母以不尽之一为分子命为一十三两又三分两之一
　　解曰三分两之一即三钱三分三三不尽
　　二则
　　约分
　　设以九十八为法除实不尽者四十二求约若干法曰以子四十二减母九十八【余五十六】再减之余一十四复以母十四减子四十二【余二十八】再减之亦余一十四谓之子母相同即以十四为法除母九十八得七除子四十二得三即命为七分之三
　　解曰母数九十八是七个十四子数四十二是三个十四九十八之与四十二若七之与三也故命为七分之三遇不可约之数直以本数命之如母九十七子四十二此数之不可约者也直命为九十七之四十二
　　三则
　　乘分
　　设一十八人分银毎人分得三百七十六两又九分两之六求共银法曰置三百七十六两为实以母九因之【得三千三百八十四两】加入子六【共三千三百九十两】以人数乘之【得六万一千零二十两】再以母九归之得六千七百八十两即所求
　　解曰不以母因实则不能加入子数故因实以就子也
　　四则
　　课分
　　设有布二疋又九分疋之五用过一疋又六分疋之一求余布法曰置用过布一疋以母六因之【仍得六】加入子一【共七】又以原布母九因之【得六十三】另置原布二疋以母九因之【得一十八】加入子五【共二十三】又以用过布母六因之【得一百三十八】两数相减【余七十五】为实以两母【谓九与六】相乘【得五十四】为法除之得一疋零二十一以约分法约之得十八之七即命为余布一疋又十八分疋之七解曰两数各带子母不得不两因之两因之不得不两归之法以两母相乘除实者与两归得数同也五则
　　通分
　　设粟四十五石毎七分石之五值银八分两之六求共银法曰置粟为实以粟母七乘银子六【得四十二】为法乘实【得一千八百九十】另以银母八乘粟子五【得四十】为法除之得四十七两二钱五分即所求
　　解曰原当置粟为实以粟母七乘之粟子五除之求得共粟七分之五再以银子六乘之银母八除之即得银数然既以粟母七乘之又以银子六乘之不如以粟母七乘银子六以乘之也既以粟子五除之又以银母八除之不如以银母八乘粟子五以除之也

　　数学钥巻三附
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
　　钦定四库全书
　　数学钥巻四凡例
　　柘城杜知耕撰
　　凡例
　　一则
　　形为体之界在上之界曰靣在下之界曰底底与面有长广而无厚薄故底面之积曰平积
　　二则
　　体之纵者曰长衡者曰广立者曰髙
　　三则
　　底面长广及髙皆等者曰立方如第一图底面皆方而
　　髙不与长
　　广等者曰
　　方体如第
　　二图长广
　　及髙皆不
　　等而角方
　　者曰直体
　　亦曰直方体如第三图底或方或直而傍为勾股形曰堑堵如第四图底或方或直而傍为三角形曰刍荛如第五图底或方或圆或多边而上鋭至尽者曰锥体如第六图凡底面相等者即取底之形为体之名设底六边即为六边体如第七图浑然无界无棱者曰浑体浑圆如第八图浑撱圆如第九图面长杀于底长而无广者曰鋭脊如第十图面之长广各杀于底者曰鋭面如第十一图上下皆有长无广者曰鼈臑如第十二图
　　四则
　　锥及鋭面等体自傍科量之度非正髙五边七边等底中长折半之防非正心
　　五则
　　线之度尺容十寸寸容十分形之度尺容百寸寸容百分体之度尺容千寸寸容千分
　　六则
　　相似两形之比例为线与线再加之比例再加者谓两线各自乘以为比例也相似两体之比例为线与线三加之比例三加者谓两线各自乘再乘以为比例也两形有一度等者同两线之比例两体有一度等者同两形之比例两体有两度等者亦同两线之比例
　　七则
　　堆止一层曰平堆二层以上曰髙堆

　　数学钥巻四凡例
　　钦定四库全书
　　数学钥卷四目録
　　柘城杜知耕撰
　　少广
　　一则立方求积
　　二则直体求积
　　三则堑堵求积
　　四则刍荛求积
　　五则三角体求积
　　六则六边体求积【八边十二边附】
　　【増】七则五边体求积【九边附】
　　八则圆体求积
　　【増】九则撱圆体求积
　　【増】十则弧矢体求积
　　十一则锥体求积
　　十二则诸杂线体求积
　　【西法】十三则浑圆求积【二法】
　　【增】十四则浑撱圆求积
　　十五则鋭脊体求积
　　【増】十六则鼈臑求积
　　【増】十七则等广鋭面体求积
　　十八则鋭面方体求积
　　十九则鋭面直体求积【二法　后法増】
　　二十则鋭面圆体求积
　　【増】二十一则鋭面撱图体求积
　　【西法】二十二则诸鋭面体求积
　　二十三则求锥体之正髙
　　二十四则立方以积求边一法【即开立方法】二十五则立方以积求边二法
　　【増】二十六则方体以积求边一法【即带纵开立方法増】二十七则方体以积求边二法
　　二十八则直体以积求边一法
　　【増】二十九则直体以积求边二法
　　三十则浑圆以积求径
　　【増】三十一则浑撱圆以积求径
　　三十二则三乗还原【即开三乗方法　五乗七乗附】三十三则委粟求积
　　三十四则倚壁委粟求积
　　三十五则倚外角委粟求积
　　三十六则倚内角委粟求积
　　三十七则方平堆以周求积
　　三十八则方平堆以积求周
　　三十九则三角平堆以濶求积
　　四十则三角平堆以积求濶
　　四十一则梯形平堆以濶求积
　　四十二则六边平堆以边求积
　　四十三则六边平堆以积求边【求周附】
　　四十四则堑堵髙堆求积
　　四十五则方底髙堆求积
　　四十六则三角髙堆求积
　　四十七则直底髙堆求积
　　四十八则直底鋭面堆求积
　　四十九则三角鋭面堆求积
　　数学钥巻四目録
　　钦定四库全书
　　数学钥巻四
　　柘城杜知耕撰
　　少广
　　一则
　　立方求积
　　设立方方三尺求积法曰置三尺自乘【得九尺】再以三尺乘之得二十七尺即所求
　　解曰算体之法先求底积【即方圆等形求积详一二巻】以髙为底
　　积倍数如图长广各三尺相乘得九尺
　　为底积若髙二尺则二倍底积之数得
　　一十八尺髙三尺则三倍底积之数得
　　二十七尺
　　二则
　　直体求积
　　设直体长七尺广五尺髙一十二尺
　　求积法曰以广乘长【得三十五尺】以髙乘
　　之得四百二十尺即所求
　　解同前
　　三则
　　堑堵求积
　　设堑堵长一十二尺广五尺髙七尺求积法曰以广
　　乘长【得六十尺】以髙
　　乘之【得四百二十尺】折
　　半得二百一十
　　尺即所求
　　解曰甲乙丙丁直体与堑堵髙广长各等依甲乙线丙乙棱分之必成二堑堵夫一直体既能当二堑堵则一堑堵必当半直体也故折半得积
　　四则
　　刍荛求积
　　设刍荛长一十二尺广五尺髙七尺求积法同堑堵
　　解曰甲乙丙戊
　　刍荛依丙丁线
　　丙戊脊分之必
　　成二堑堵各为
　　相当直方之半两直方并必成一直方夫直方之两分既倍于刍荛之两分直方之全体不倍于刍荛之全体乎故亦折半得积同堑堵也
　　五则
　　三角体求积
　　设三角体广六尺
　　中长五尺高一十
　　二尺求积法曰置
　　长广相乘【得三十尺】以
　　髙乘之【得三百六十尺】折半得一百八十尺即所求
　　解曰即刍荛但彼横此纵耳○勾股体同
　　六则
　　六边体求积【八边及十二边附】
　　设六边体每边广二十尺中长三十四尺六寸四分
　　有竒髙四十尺
　　求积法曰置广
　　三因之【得六十尺】以
　　长折半【得一十七尺三】
　　【寸二分零二毫】乘之【得一千零三十九尺二寸一分二厘】为底积再以高乘之得四万一千五百六十八尺四寸八分即所求解曰六边底依各角分之成三角形六三角求积法以广乘长折半【一巻五则】不折则得两三角积故三因边广以底长之半乘之【底之半长即三角之中长】即得六三角积【即全底积】犹平圆半径乘半周之义也【二巻三则】若无底长之度则取边广为【全底分为六三角形每形之三边俱等以甲乙为即以丙乙为也】半广为勾【丁乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即底长之半【六巻二则】○设八边底每边广二十尺求底长即以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺以七六五三六除之得二六一三一四强为【丙乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即底长之半设十二边底每边广二十尺求底长即以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺以五一七六四除之得三八六三六八强为【丙乙】各自乘
　　相减平方开之
　　得股【丙丁】即底长
　　之半按七六五
　　三六乃四十五
　　度弧之通四十五度为三百六十度八之一故以之除八边底之一边即得外切圆形之半径五一七六四乃三十度弧之通三十度为三百六十度十二之一故以之除十二边底之一边即得外切圆形之半径外切圆形之半径即三角形之腰线【丙乙】也【见大测及八线表】
　　七则
　　五边体求积
　　设五边体毎边广二十尺中长三十尺零七寸七分
　　六厘六毫强高
　　四十尺求积法
　　曰置边广以边
　　数五因之【得一百尺】
　　折半【得五十尺】为实另置边广折半【得十尺】自乘【得一百尺】以中长除之【得三尺二寸四分九厘一毫强】与中长相减【余二十七尺五寸二分七厘四毫强】折半【得一十三尺七寸六分三厘七毫强】为法乘实【得六百八十八尺一寸八分八厘】为底积再以高乘之得二万七千五百二十七尺五寸二分即所求
　　解曰五边底依各角分之成三
　　角形五欲求底积必先得三角
　　积欲求三角积必先得三角之
　　中长【丙丁】然上则六边边为偶数
　　角与角相对边与边相对其全底之长即相对两三角之中长令五边边为竒数边与角相对其底长【己丁】小半为此三角之中线【丙丁】大半为彼三角之腰线【己丙】折半则得庚丁不能得丙丁也若欲得丙丁必先求己丙【于己丁底长减去己丙余即丁丙】欲得己丙必先求外切圆形之己戊径【己戊折半即己丙】欲得己戊必先求外切圆径大于底长之丁戊【底长加丁戊即己戊】欲求丁戊则用弧矢以及余径求矢法【二巻二十二则】今边广甲戊乙弧矢形之甲乙也边广折半自乘丁乙半上方形也底长己丁余径也以除半上方形所得者丁戊矢也以矢减底长所余者倍三角中长之辛丁也故半之为三角之中长又五因边广折半者取五三角底之半也若无底长之度则取边广折半为勾【丁乙】另置边广以一一七五五八除之得一七零一二八八为【丙乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即三角形之中长【六巻二则】
　　一　一七五五八乃七十二度弧
　　之通七十二度为三百六十
　　度五之一故以之除五边之一
　　即得外切圆形之半径【丙乙】为三
　　角形之腰线也○设九边底每边广二十尺求三角分形之中长则以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺以六八四零四除之得二九二三八为【丙乙】自乘相减平方开之得股【丙丁】即三角形之中长六八四零四乃四十度弧之通四十度为三百六十度九之一故以之除九边之一即得三角形之腰线也
　　八则
　　圆体求积
　　设圆体径三十尺高四十尺求积法曰置径自乘【得九
　　百尺】再以高乘之
　　【得三万六千尺】用圆法
　　十一乘十四除
　　【二巻四则】得二万八
　　千二百八十五尺七寸有竒即所求
　　解曰以径自乘再以髙乘之方体积也方体与圆体等髙则两体即若两底之比例故用平圆法求圆体之积也
　　九则
　　撱圆体求积
　　设撱圆体大径三十六尺小径一十六尺髙四十尺求积法曰置两径相乘【得五百七十六尺】再以高乘之【得二万三千零四十尺】用圆法十一乘十四除得一万八千一百零
　　二尺八寸有竒
　　即所求
　　解同前则及二
　　巻十六则
　　十则
　　弧矢体求积
　　设弧矢体矢濶八尺六寸六分零二毫长三十尺背三十六尺二寸九分零三毫六丝高四十尺求积法曰置半自乘【得二百二十五步】以矢除之【得二十五尺九寸八分零
　　九壹强】为余径余
　　径加矢折半【得一
　　十七尺三寸二分零五毫五丝】为法乘背【得六百二】
　　【十八尺五寸六分九厘】另以余径减矢折半【得八尺六寸六分零四毫弱】为法乘【得二百五十九尺八寸一分二厘】两数相减【余三百六十八尺七寸五分七厘】折半【得一百八十四尺三寸七分八厘】为底积再以高乘之得七千三百七十五尺一寸四分即所求【二卷十七则】
　　十一则
　　锥体求积
　　设方锥方二十尺高四十尺求积法曰置二十尺自
　　乘【得四百尺】为底积
　　再以高乘之【得一
　　万六千尺】以锥法三
　　归之得五千三
　　百三十三尺三寸三分有奇即所求
　　解曰方边自乘再以高乘之方体也方锥居方体三之一故三归得积也何以知方锥居体三之一也试
　　作立方如甲乙
　　自心至各棱分
　　之必成锥体六
　　俱以方靣为底
　　方边之半为高
　　更作一方体与
　　锥体同底等高
　　如丙丁丙丁方
　　体既与锥体同
　　底必亦与甲乙立方同底既与锥体等高必以甲乙方边之半为高两方体既同底则两体之比例若高与高丙丁体必为甲乙立方二之一矣锥体既为甲乙立方六之一不为等高同底丙丁方体三之一乎再作直体广二尺长四尺高八尺如癸辛亦自心至各棱分之亦成锥体六底等戊庚辛己高等辛子之半如丑者二底等癸壬庚戊高等庚辛之半如寅者二底等庚壬子辛高等辛己之半如卯者二六锥体形势虽殊而俱等何也丑与寅同长丑之高倍于寅而寅之广倍于丑折寅之广凖丑之高则丑寅二体等矣又丑与卯同广丑之长倍于卯而卯之高倍于丑折丑之长凖卯之高则丑卯二体亦等矣夫寅等于丑丑等于卯是六锥俱等矣今癸辛一直体能分为相等之六锥体则一锥体不为癸辛直体六之一乎锥体既为同底倍高直体六之一必为同底等高三之一无疑矣○从此推之不论方圆多边弧矢凡属锥体者皆为同底等高体三之一
　　十二则
　　诸杂线体求积
　　凡体先求底积底属直线依一巻九则例属曲线及杂线依二巻四十则例裁之得底积再以高乘之即得体积
　　十三则
　　浑圆求积
　　设浑圆径十尺求积法曰置径自乘【得一百尺】四因之【得四百尺】十一乘十四除【得三百一十四尺二寸八分六厘弱】为靣积再以半径乘之【得一千五百七十一尺四寸三分弱】以三归之得五百二十三
　　尺八寸一分即所求
　　解曰置径自乘再以十一乘十
　　十四除者浑圆中丙子乙丑平
　　圆积也以四因之者浑圆面积
　　当平圆积四也何也浑圆面任割一分【如甲丁己戊】欲求面分之容则取自甲顶至戊界之度【甲戊线】为半径作平圆【如辛癸平圆辛壬与甲戊等】其容即等若自乙丙平割浑圆之半取自甲顶至乙界之度为半径作平圆其容必与浑圆半靣等今丙子乙丑平圆半径为乙庚乙庚
　　与甲庚等乙庚甲庚
　　两线偕甲乙线则成
　　一勾股形甲乙为
　　乙庚甲庚一为勾一
　　为股也以为半径之平圆必倍大于或勾或股为半径之平圆浑圆半靣既等于以甲乙弦为半径之平圆不倍大于以乙庚勾为半径之丙子乙丑平圆乎半面既倍大于丙子乙丑平圆全靣不四倍大于丙子乙丑平圆乎法以半径乘之以三归之又何也平圆求积同于以圆周为底以半径为高之三角形【二巻四则】故浑圆求积同于以全面为底以半径为高之
　　锥体以高乘底以三归之者
　　锥体求积之法也【本巻十一则】○
　　又尝借西洋割圆八线表考
　　之如前径十尺之浑圆自顶
　　中剖之再以乙丙线平分之依八线表例分乙丁甲曲线为九十度设任割球分为甲丁己戊其甲丁曲线三十度自丁戊向甲截作三十段梯形于八线表中求三十度通得五尺二十九度通得四尺八寸四分八厘一毫用梯形求积法【一巻七则】并两数折半得四尺九寸二分四厘零五丝再求二十八度通得四尺六寸九分四厘七毫与二十九度通并而折半得四尺七寸七分一厘四毫依次折尽三十度共得通数七十六尺七寸五分九厘七毫五丝用圆径求周法【二巻一则】求得二百四十一尺二寸四分五厘弱【为球分面上三十段梯形两濶折半之数】为实复求甲丁曲线三十分之一得八分七厘三毫有竒【取浑圆全周以三十六归之即得】为
　　梯长乘实得割　　　　　　　　　　　【即】球靣积二十一尺零五分有奇叧求甲戊直线得二尺五寸八分八厘二【即表中十五度通】毫倍之得五尺一寸七分六厘四毫为径求圆积亦得二十一尺零五分有竒与前数
　　合又法置径自乘再以径乘【得一千尺】之以十一乘二十一除得数
　　同解曰圆体与方体等高则两体之比例若两底之比例是方体与圆体若十四与十一也又圆体与浑圆等高令圆体之底同浑圆中心之平圆则圆体之
　　容必等于以平圆为底以浑圆
　　半径为【浑圆半径即固体高度之半也】高之锥
　　体【本巻十一则】六浑圆之面既四倍
　　于中心平圆而浑圆求积之法
　　又同锥体则浑圆之容必等于以平圆为底半径为高之锥体四夫以相等之锥体圆体得六而浑圆得四是圆体与浑圆若六之与四六之与四即三之与二也又以三因十四得四十二以二因十一得二十二各以二约之为二十一与十一则二十一与十一等高立方浑圆之比例也法置径自乘再乘立方也十一乘二十一除取立方二十一之十一为浑圆也十四则
　　浑撱圆求积
　　设浑撱圆大径四十尺小径二十尺求积法曰置小
　　径自乘【得四百尺】再
　　以大径乘之【得一
　　万六千尺】以十一乘
　　二十一除得八
　　千三百八十尺零九寸五分即所求
　　解曰小径自乘再以大径乘之甲乙方体也方体浑撱圆比例亦犹立方与浑圆故十一乘二十一除得浑撱圆之积
　　十五则
　　鋭脊体求积
　　设鋭脊体脊长十尺底长十四尺广五尺高十二尺求积法曰倍底长加脊长【得三十八尺】以广乘之【得一百九十尺】再以高乘之【得二千二百八十尺】以六归之得三百八十尺即
　　所求
　　解曰依甲丙乙丁两线
　　分之成刍荛一斜锥二
　　【斜锥与正锥同论】刍荛以高乘
　　底积之半得积【本巻四则】锥以高乘底积三之一得积【本巻十一则】夫刍荛之底长即鋭脊之脊长也若三倍脊长以六归之即得刍荛底长之半又两斜锥之底长即鋭脊之脊长与底长之较也【即戊庚己辛两线并之度】若二倍较线以六归之即得斜锥底长三之一今倍底长加脊长非即三倍脊长二倍较线乎以六归之以广乘之再以高乘之得三分体之积即全体之积法先乘后归亦异乘同除之意也
　　十六则
　　鼈臑求积
　　设鼈臑上长二
　　尺下长四尺高
　　九尺求积法曰
　　置两长相乘【得八】
　　【尺】再以高乘之【得七十二尺】以六归之得一十二尺即所求
　　解曰叧作一刍荛如下图刍荛原为等高同底方体二之一【本巻四则】依甲丙乙丙两线各从底棱分之成一锥体二鼈臑锥体原为等高同底方体三之一【本巻十一则】必为刍荛三之二于刍荛内减去锥体所余三之一则两鼈臑也两鼈臑并既为刍荛三之一必为与刍荛等高同底方体六之一矣与刍荛等高同底即为鼈臑等高倍底者也两鼈臑既为等高倍底方体六之一则一鳖臑亦必为等高同底方体六之一故用六归也
　　十七则
　　等广鋭面体求积
　　设等广鋭靣体靣长四尺底长一十二尺底面俱广
　　五尺高一十二
　　尺求积法曰并
　　两长折半【得八尺】以广乘之【得四十尺】
　　再以高乘之得四百八十尺即所求
　　解曰依甲丙乙丁两线分之成一直体二堑堵全靣即一直体底全底即一直体二堑堵底底靣并而折半则成一直体一堑堵底矣夫直体以高乘本底得积【本巻二则】堑堵以高乘半底得积【本巻三则】今一堑堵之全底即两堑堵之半底也故以高乘防靣相并折半之数得全积十八则
　　鋭靣方体求积
　　设鋭靣方体靣方六尺底方八尺高一十二尺求积
　　法曰置上方自
　　乘【得三十六尺】下方
　　自乘【得六十四尺】上
　　下两方相乘【得四】
　　【十八尺】三数并【共一百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】以三归之得五百九十二尺即所求
　　解曰各依面棱分之成方体一堑堵方锥各四凡九体而有三等三等求积之法则各殊方体以高乘底得积【本巻二则】堑堵以高乘底二之一得积【本巻三则】方锥以高乘底三之一得积【本巻十一则】若从方体则与堑堵不合从堑堵又与方锥不合不得不用三归以就方锥然用三归必三倍方体之底半倍堑堵之底而后可今下方自乘即甲乙方形得方体之底一堑堵方锥之底各四上方自乘即丙丁方形得方体之底一上下相乘即戊己直形得方体之底一堑堵之底二合三形共方体底三堑堵底六方锥底四夫方体底三三归之仍得一堑堵底六三归之得二二堑堵底即四堑堵底二之一也方锥底四三归之各得三之一今以高乘一方体底四堑堵底二之一四方锥底三之一故得全积【余同本巻十五则】
　　十九则
　　鋭靣直体求积
　　设鋭靣直体靣长六尺广五尺底长十尺广八尺高
　　一十二尺求积
　　法曰倍上长加
　　下长【共二十二尺】以
　　上广乘之【得一百一】
　　【十尺】另倍下长加上长【共二十六尺】以下广乘之【得二百零八尺】两数并【得三百一十八尺】以高乘之【得三千八百一十六尺】以六归之得六百三十六尺即所求
　　解曰依各靣棱分之亦成九体与前则同但四堑堵两两相等辛戊与庚己等丙戊与丁己等四堑堵既不等则三归之法不可用矣于是有六归之法倍上长加下长以上广乘之即戊己直形二丙丁直形一得戊己直体底三丙戊己丁堑堵底各一倍下长加上长以下广乘之即甲乙直形二辛庚直形一得戊己直体底三辛戊庚己堑堵底各三丙戊丁己堑堵底各二甲戊等四锥底各二合之共直体底六堑堵底十二与辛戊等者六与丙戊等者六锥底八以六归之得一直体底四堑堵底二之一四锥底三之一故以高乘之得全积○按鋭靣直体亦有可用三归
　　者如后图面长五尺广三尺底
　　长七尺广四尺二寸高一十二
　　尺用前法得积二百六十一尺
　　六寸今以面广乘靣长得一十
　　五尺以底广乘底长得二十九尺四寸以靣广乘底长得二十一尺【或以底广乘靣长亦同】三数并共六十五尺四寸以高乘之以三归之得积同用此法求前体则不合其故何也葢前体乃鋭脊之截体后体乃直锥之截体后体底靣长广可互为比例若依四角斜线引而高之必成直锥是以谓之直锥之截体依前例分为九体其四堑堵虽体势不同而容积皆等故用三归而合也若前体底靣长广不可为比例亦依四角斜线引而高之止成鋭脊终不成锥体是以谓之鋭脊之截体如前分为九体其四堑堵体势既异而大小复殊故用三归必不合也鋭靣直体有此二等不可不知也
　　二十则
　　鋭靣圆体求积
　　设鋭靣圆体靣径六尺底径八
　　尺高一十二尺求积法曰置靣
　　径自乘【得三十六尺】底径自乘【得六十四
　　尺】两径相乘【得四十八尺】三数并【共一】
　　【百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】再十一乘四十二除得四百六十五尺一寸四分有竒即所求
　　解曰此与鋭靣方体法同元当用三归得鋭靣方体积再十一乘十四除为本积今用十一乘四十二除者以三因十四得四十二以四十二除犹三归又十四除也
　　二十一则
　　鋭面撱圆体求积
　　设鋭面撱圆体面大径四尺小径二尺底大径八尺
　　小径六尺高一十二尺求积法
　　曰倍靣大径加底大径以靣小
　　径乘之【得三十二尺】另倍底大径加
　　靣大径以底小径乘之【得一百二十尺】
　　两数并【共一百五十二尺】以高乘之【得一千八百二十四尺】再以十一乘八十四除得二百三十八尺八寸五分有竒即所求
　　解曰此与鋭靣直体法同元当用六归得鋭靣直体积再十一乘十四除为本积今以八十四除者以六因十四得八十四以八十四除犹六归又十四除也二十二则
　　诸鋭靣体求积
　　设鋭靣六边体靣每边广一尺中长一尺七寸三分二厘【所谓中长者乃边与边相对之度非角与角相对之度也底同】底每边广二尺
　　中长三尺四寸
　　六分四厘高四
　　尺求积法曰置
　　高以底长折半
　　乘之【得六尺九寸二分八厘】以两长相减折半【得八寸六分六厘】除之得八尺为锥高另三因底边二尺【得六尺】以底长之半乘之【得十尺零三寸九分二厘】以锥高八尺乘之三归之【得二十七尺七寸一分强】为锥积另三因靣边一尺【得三尺】以靣长之半乘之【得二尺五寸九分八厘】以原高减锥高余四尺乘之三归之【得三尺四寸六分四厘】为虚积以虚积减锥积余二十四尺二寸四分八厘即所求
　　解曰凡鋭靣体底靣长广能为比例者皆诸锥之截体既得锥积复得体外虚积相减之余即为所求之实积然欲求锥积必先求锥高锥高甲丙与元高甲丁之比例若底长之半甲乙与底靣两半长之较线己乙也法以底长之半乘高以两半长之较线除之者乃借乙己与己戊之比例【己戊即甲丁】因甲乙以求甲丙也凡鋭靣体俱同此法
　　二十三则
　　求锥体之正高
　　设方锥底方十尺斜高一十三尺求正高法曰置斜高自乘【得一百六十九尺】另以底方折半自乘【得二十五尺】两数相
　　减【余一百四十四尺】平方开之得一十
　　二尺即所求
　　解曰此勾求股法也【六巻二则】凡
　　求诸锥体之积须得诸锥正高
　　自傍面量者乃斜高非正高也自顶至底中心方为正高方锥系偶边故折底长为勾如遇竒边则求底中心至边之度为勾【本巻七则】
　　二十四则
　　立方以积求边一法【即开立方】
　　设立方积三千三百七十五尺求方边法曰置积于中为实先商十尺于左下法亦置十尺于右自乘再乘【得一千尺】除实【余二千三百七十五尺】三因下法十尺【得三十尺】为方法次商五尺置于左初商十尺之次下法亦置五尺于初商十尺之次【共一十五尺】以次商五尺徧乘之【得七十五尺】为廉法再以方法乘廉法【得二千二百五十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法除实恰尽合左初商次商得一十五尺即所求
　　解曰初商自乘再乘大方积也次商五尺乘下法十
　　尺得五十尺即
　　方廉甲乙丙丁
　　一侧面之平积
　　也【丁乙五尺丁丙十尺相乘
　　得五十尺】以初商乘
　　之必得一方廉
　　之积【每一方廉积五百尺】若以方法三十
　　尺乘之则得三
　　方廉之积【三方廉皆等】又以次商五尺乘下法五尺得二十五尺即戊己庚辛长廉一方面之平积也【戊己五尺戊庚亦五尺相乘得二十五尺】以初商乘之必得一长亷之积【每一长廉积二百五十尺】若以方法三十尺乘之则得三长廉之积【三长廉皆等】今以次商五尺徧乘下法十五尺得七十五尺即方廉之侧面长亷之方面两平积也总以方法三十尺乘之即得三方廉三长廉之共积矣又次商五尺自乘再乘得一百二十五尺即隅方积以三方廉附于大方之三面以三长廉补方廉之缺又以一隅方补长廉之缺八体凑合则成一纵广皆一十五尺之立方矣
　　二十五则
　　立方以积求边二法
　　设立方积三百六十五万二千二百六十四尺求方边法曰置积于中为实先商一百尺于左下法亦置一百尺于右自乘再乘【得一百万尺】除实【余二百六十五万二千二百六十四尺】三因下法一百尺【得三百尺】为方法次商五十尺置于左初商一百尺之次下法亦置五十尺于初商一百尺之次【共一百五十尺】次商五十尺徧乘之【得七千五百尺】为廉法以方法乘廉法【得二百二十五万尺】除实【余四十万零二千二百六十四尺】又以次商自乘再乘【得一十二万五千尺】为隅法除实【余二十七万七千二百六十四尺】复三因下法一百五十尺【得四百五十尺】为方法三商四尺于左初商次商一百五十尺之次下法亦置四尺于初商次商一百五十尺之次【共一百五十四尺】以三商四尺徧乘之【得六百一十六尺】又为廉法以方法乘廉法【得二十七万七千二百尺】除实【余六十四尺】又以三商四尺自乘再乘【得六十四尺】为隅法除实恰尽合左初次三商共得一百五十四尺即所求
　　解曰此与前则同但彼二位此三位耳设三商又不尽复三因初次三商为方法四商之仿此
　　二十六则
　　方体以积求边一法【即带纵开立方】
　　设方体积二千九百二十五尺长广相等高朒二尺求各度法曰置积于中为实初商十尺自乘又以朒二尺减十尺余八尺乘之【得　百尺】除实【余二千一百二十五尺】倍八尺加初商十尺【共二十六尺】为方廉法又倍初商十尺加八尺【共二十八尺】为长廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法【得二百六十尺】以次商五尺乘长廉法【得一百四十尺】两数并【共四百尺】以次商五尺乘之【得二千尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法除实恰尽合初商次商共得一十五尺即底方之度减高朒二尺余一十三尺即高度
　　解曰初商自乘大方之底积又减二尺乘之高朒于纵及广也倍八尺加十尺为方廉法者以方廉广十尺者一广八尺者二也又以十尺乘之者三方廉之
　　长皆十尺也倍
　　十尺加八尺为
　　长廉法者以长
　　廉长八尺者一
　　长十尺者二也
　　又以次商五尺
　　乘之者三长廉
　　之广皆五尺也
　　又并六廉以五
　　尺乘之者六廉之厚皆五尺也余同前则○改设前积为三千二百四十三尺三寸七分五厘初商十尺次商五尺仍余积三百一十八尺三寸七分五厘又以朒二尺减初次两商十五尺余十三尺倍之加十五尺共四十一尺为方廉法倍十五尺加十三尺共四十三尺为长廉法三商五寸于初次两商一十五尺之次以初次两商十五尺乘方廉法得六百一十五尺以三商五寸乘长廉法得二十一尺五寸并两数共六百三十六尺五寸又以三商五寸乘之得三百一十八尺二寸五分除实余一寸二分五厘陞二位作一百二十五寸又置三商五寸自乘再乘得一百二十五寸除实恰尽合初次三商得一十五尺五寸为底方之度减高朒二尺余一十三尺五寸为高度○余积一寸二分五厘陞二位何也葢体以纵广及高各一尺为积一尺一尺实积千寸取十分尺之一为寸是一寸而实积百寸也故寸以下皆陞二位二十七则
　　方体以积求边二法
　　设方体积四千二百七十五尺长广相等高多四尺求各度法曰置积于中为实初商十尺自乘又以多四尺并十尺共十四尺乘之【得一千四百尺】除实【余二千八百七十五尺】倍十四尺加初商十尺【共三十八尺】为方廉法倍初商十尺加十四尺【共三十四尺】为长廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法【得三百八十尺】以次商五尺乘长廉法【得一百七十尺】两数并【共五百五十尺】又以次商五尺乘之【得二千七百五十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法除实恰尽合初次两商共得一十五尺即底方之度加高多四尺共一十九尺即高度解同前
　　二十八则
　　直体以积求边一法
　　设直体积七千二百尺高一十二尺广朒于长十尺求长广法曰置积以高除之【得六百尺】四因之【得二千四百尺】叧置广朒于长十尺自乘【得一百尺】两数并平方开之【得五十尺】减广朒于长十尺【余四十尺】折半得二十尺即广加十尺得三十尺即长
　　解曰以高除积所得者直体底积也故平方带纵开之即得所求也
　　二十九则
　　直体以积求边二法
　　设直体积三千一百三十五尺高多长四尺长多广四尺求各度法曰置积于中为实初商十尺以十尺减长多广四尺余六尺乘之又以十尺加高多长四尺共十四尺乘之【得八百四十尺】除实【余二千二百九十五尺】列十尺六尺十四尺为方廉法并十尺六尺十四尺共三十尺为长廉法次商五尺置于初商之次方廉法维乘以六尺乘十尺【得六十尺】十尺乘十四尺【得一百四十尺】十四尺乘六尺【得八十四尺】并之【共二百八十四尺】又以次商五尺乘长廉法【得一百五十尺】两数并【共四百二十四尺】再以次商五尺乘之【得二千一百七十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百十五尺】　为隅法除实恰尽合初次两商共一十五尺即长増四尺共一十九尺即高减长四尺余一十一尺即广
　　解曰初商十尺为大方之长减四尺余六尺为广増
　　四尺共一十四尺为高故两乘
　　得大方积大方三面之平积即
　　三方廉之底积也而大方之三
　　面各不等以广六尺乘长十尺
　　得甲乙丙丁面平积以长十尺乘高一十四尺得戊己甲乙面平积以高一十四尺乘广六尺得已庚乙丁面平积故列三位为方廉法维乘也又大方三棱之度即三长廉之高也而大方三棱亦不等甲乙棱十尺乙丁棱六尺乙己棱一十四尺故并三数为长
　　廉法也余同前解

　　三十则
　　浑圆以积求径
　　设浑圆积一千七百六十七尺八分五厘七毫有竒求圆径法曰置积二十一乘十一除【得三千三百七十五尺】立方开之得一十五尺即所求
　　解曰十一与二十一浑圆立方之比例也【本巻十三则】二十一乘十一除令浑圆化为相当之立方故立方开之得方边即得圆径也
　　三十一则
　　浑撱圆以积求径
　　设浑撱圆积二千二百三十九尺二寸八分五厘有竒大径多小径四尺求两径法曰置积二十一乘十一除【得四千二百七十五尺】以带纵立方开之得一十五尺即小径加多四尺得一十九尺即大径
　　解曰浑防圆与方体之比例亦若浑圆与立方故二十一乘十一除带纵立方开之得方体之广及高即浑撱圆之两径也
　　三十二则
　　三乘还原【即开三乘方】
　　设三乘积六百二十五尺求还原法曰置积为实平方开之【得二十五尺】再以平方开之得五尺即所求解曰以五自乘再乘三乘得六百二十五即所谓三乘方也反求元数即所谓开三乘方也三乘原无形体可言但法类于开平方立方故亦谓之方耳○从此推之一次平方一次立方可开五乘方三次平方可开七乘方
　　三十三则
　　委粟求积
　　设委粟底周八十八尺高八尺八寸求积法曰置周自乘【得七千七百四十四尺】以高乘之【得六万八千一百四十七尺二寸】再七乘二百六十四除得一千八百零六尺九寸三分有竒即所求
　　解曰此即圆锥也圆形与周上方形之比例若七与
　　八十八【二巻五则】凡两体等高者体与
　　体之比例若底与底圆体与周上
　　等高方体之比例必亦若七与八
　　十八今圆锥居圆体三之一以三
　　乘八十八得二百六十四则是圆锥与周上等高方体之比例必若七与二百六十四矣
　　二十四则
　　倚壁委粟求积
　　设倚壁委粟周四十
　　四尺高八尺八寸求
　　积法曰置周自乘【得一
　　千九百三十六尺】以高乘之
　　【得一万七千零三十六尺八寸】再七乘一百三十二除得九百零三尺四寸六分有竒即所求
　　解曰此圆锥之半也半锥居全锥二之一半周上方体【与圆锥等高下同】居全周上方体四之一故其比例为七与一百三十二也
　　三十五则
　　倚外角委粟求积
　　设倚外角委粟周六十六尺高八尺八寸求积法曰
　　置周自乘【得四千三百五十六
　　尺】以高乘之【得三万八千三
　　百三十二尺八寸】再七乘一
　　百九十八除得一千
　　三百五十五尺二寸即所求
　　解曰此圆锥四之三也与全周上方体【与圆锥等高下同】之
　　钦定四库全书
　　数学钥巻五凡例
　　柘城杜知耕撰
　　凡例
　　一则
　　以此防分之防为彼几分之几之倍数即以彼防分之防为此防分之防之倍数两数必相等设甲数十二乙为甲四分之三数九丙为甲三分之二数八以丙乗乙得七十二以乙乗丙亦得七十二更设丁数四十八戊为丁四分之三数三十六己为丁三分之二数三十二以己乗乙得二百八十八以戊乗丙亦得二百八十八故曰两数必相等
　　二则
　　设乙四倍之多于甲数为三七倍之多于甲数为十五以倍数四互乗十五得六十为二十八倍乙多于四倍甲之数以倍数七互乗三得二十一为二十八倍乙多于七倍甲之数两数对减所余必七倍甲多于四倍甲之数七倍甲多于四倍甲之数则三甲之数也
　　三则
　　同名相减犹异名相加故异名相加者必同名相减同名相加犹异名相减故异名相减者必同名相加四则
　　正与正负与负为同名正与负为异名
　　五则
　　有一数为法中之闗键而乗除加减反不用者曰暗用数

　　数学钥巻五凡例
　　钦定四库全书
　　数学钥巻五上之上目録
　　柘城杜知耕撰
　　商功
　　一则修筑计积
　　二则以积计工
　　三则以工计日一法
　　四则以工计日二法
　　五则坚土壤土之较
　　六则迟疾求齐一法
　　七则迟疾求齐二法
　　八则迟疾求齐三法
　　巻五上之下
　　均输
　　一则田地之多寡
　　二则方物之贵贱
　　三则道里之逺近一法
　　四则道里之逺近二法
　　五则任载之重轻一法
　　六则任载之重轻二法
　　七则合均田地多寡方物贵贱道里逺近
　　卷五下之上
　　盈朒
　　一则盈适足
　　二则朒适足
　　三则两盈
　　四则两朒
　　五则一盈一朒
　　六则带分子母盈适足【朒适足同】
　　七则带分子母两盈【两朒同】
　　八则带分子母一盈一朒【二法】
　　卷五下之下
　　方程
　　一则二色方程
　　二则三色方程一法
　　三则三色方程二法
　　四则正负同异加减一法
　　五则正负同异加减二法
　　六则正负同异加减三法
　　七则正负同异加减四法
　　八则正负同异加减五法
　　九则四色方程

　　数学钥巻五目録
　　钦定四库全书
　　数学钥卷五上之上
　　柘城杜知耕撰
　　商功
　　一则
　　修筑计积
　　设修堤七千二百尺上濶八尺下濶三十尺髙四十尺求积法曰并两濶折半【得一十九尺】为实以髙乗之【得七百六十尺】再以长【七千二百尺】乗之得五百四十七万二千尺即所求
　　解曰此等广锐靣体求积法也【详四巻十七则】
　　二则
　　以积计工
　　设筑堤一座积五百四十七万二千尺每夫日筑八尺求用夫数法曰置积为实以八尺除之得六十八万四千名即所求
　　解曰此求一日筑完
　　三则
　　以工计日一法
　　设修堤同前欲一年筑完求用夫数法曰置积为实以每夫日筑八尺乗三百六十日【得二千八百八十尺】为法除之得一千九百名即所求
　　解曰二千八百八十尺乃一夫一年所筑者故以之除实得夫数
　　四则
　　以工计日二法
　　设原议用夫一千九百名一年筑完今欲速成增夫九百五十名求用日数法曰以一千九百名乗三百六十日【得六十八万四千日】为实并原夫增夫【共二千八百五十名】为法除之得二百四十日即所求
　　解曰六十八万四千日乃一夫筑完所用之日数故并原夫增夫除之得二千八百五十名所用之日数五则
　　坚土壤土之较
　　设凿池土筑堤堤积五百四十七万二千尺池长七千五百尺濶三十五尺求池深法曰置堤积四因三归【得七百二十九万六千尺】为实以池濶乗长【得二十六万二千五百尺】为法除之得二十七尺七寸九分四厘有竒即所求解曰凡阙地四尺为壤五尺筑坚三尺故于堤积四因三归为池积以濶乗长池靣平积也以平积除池积所得非池深而何
　　六则
　　迟疾求齐一法
　　设甲日筑九尺乙日筑六尺乙先筑十日方令甲筑求防日工齐法曰以乙日筑六尺乗先筑十日【得六十尺】为实以甲日筑九尺乙日筑六尺相减【余三尺】为法除之得二十日即所求
　　解曰乙先筑十日必多甲六十尺甲日筑多乙三尺二十日必亦多六十尺故同筑二十日而齐
　　七则
　　迟疾求齐二法
　　设一台甲约五日筑完乙约七日筑完丙约九日筑完令甲乙丙同筑求防日完法曰以七乗五【得三十五日】再以九乗之【得三百一十五日】为实另以七乗五【得三十五】以五
　　乗九【得四十五】以九乗七【得六十三】三
　　数并【共一百四十三】为法除之得二
　　日又一百四十三分日之二
　　十九即所求
　　解曰以乙乗甲又以丙乗之
　　者求三率之齐数也【三百一十五日是六十三个五日四十五个七日三十五个九日也】甲五日筑一台则三百一十五日必能筑六十三台乙七日筑一台则三百一十五日必能筑四十五台丙九日筑一台则三百一十五日必能筑三十五台是三人三百一十五日共筑一百四十三台也故以一百四十三台除三百一十五日得三人共筑一台之日数
　　八则
　　迟疾求齐三法
　　设一夫一日阙土可成五十尺一日运土可成三十尺一日筑土可成二十尺令一夫自阙自运自筑求日成防何法曰以二十尺乗三十尺【得六百尺】再以五十尺乗之【得三万只】为实另以二十尺乗三十尺【得六百日】五十
　　尺乗二十尺【得一千日】三十尺乗
　　五十尺【得一千五百日】三数并【共三千一
　　百日】为法除之得九尺又三十
　　一分尺之二十一即所求
　　解曰以二十尺乗三十尺再
　　以五十尺乗之亦取三率之齐数也【三万尺是一千五百个二十尺一千个三十尺六百个五十尺也】一日阙土成五十尺必六百日成三万尺一日运土成三十尺必一千日成三万尺一日筑土成二十尺必一千五百日成三万尺是一夫六百日阙土一千日运土一千五百日筑土共计三千一百日乃成三万尺也故以三千一百日除三万尺得一日所成之数

　　数学钥巻五上之上
　　钦定四库全书
　　数学钥巻五上之下
　　柘城杜知耕撰
　　均输
　　一则
　　田地之多寡
　　设甲乙丙三人以田地多寡应一年差役甲田八十畆乙田六十畆丙田四十畆求各值日数法曰分置三人田数各以三百六十日乗之【甲得二万八千八百乙得二万一千六百丙得一万四千四百】并三人田数【共一百八十畆】为法除甲得一百六十日除乙得一百二十日除丙得八十日即所求二则
　　方物之贵贱
　　设米九百石令甲乙二处以米价之贵贱均纳之甲处米价每石五钱乙处米价毎石七钱求各应纳米数法曰置米为实并两价【共一两二钱】除之得七十五以七钱乗七十五得五百二十五石价二百六十二两五钱为甲数以五钱乗七十五得三百七十五石价亦二百六十二两五钱为乙数
　　解曰甲乙米价既为五与七则甲乙纳数必若七与五矣甲纳数与共米必若乙价七钱与两价并之一两二钱也此借五钱与一两二钱之比例因元米以求甲数也乙同此论
　　三则
　　道里之逺近一法
　　设牛车已行七日马车方行六日行齐其程五百八十五里求各日行里数法曰置五百八十五里为实以六日除之得九十七里半为马车日行里数以七日六日相并【共一十三日】除实得四十五里为牛车日行里数
　　四则
　　道里之逺近二法
　　设自甲至乙八百五十五里牛车自甲反乙日行四十五里马车自乙往甲日行九十七里半同日行求防日相遇法曰置八百五十五里为实并牛马车日行里数【共一百四十二里半】除之得六日即所求
　　解曰此是彼来此往两行相就与以疾追迟者不同故并两日行数为法也
　　五则
　　任载之重轻一法
　　设原车载重八百斤行一千二百里与僦值八两今载重一千二百斤行一千八百里求僦值法曰置僦值八两为实以今重一千二百斤乗今行一千八百里【得二百一十六万】为法乗实【得一千七百二十八万】另以原重八百斤乗原行一千二百里【得九十六万】为法除之得一十八两即所求
　　解曰此同乗同除法也任载半倍于原数僦值已当半倍八两为十二两道里复半倍于原数僦值故又半倍十二两为十八两
　　六则
　　任载之重轻二法
　　设重车日行五十里轻车日行七十里今载米至仓五日三返求至仓里数法曰置轻重车日行里数相乗【得三百五十里】又以五日乗之【得一千七百五十里】为实另并轻重车日行里数以三返乗之【得三百六十】为法除之得四十八里又三十六分里之二十二即所求
　　解曰两车日行里数相乗得三百五十里是两车行之齐数也【三百五十里是七个五十里亦五个七十里】乃轻车五日重车七日所行之里数并两车日行里数除之即得一日重往轻来之里数再以五日乗之三返除之即得至仓之里数法变用五日乗实三返乗法者亦同乗同除法也
　　七则
　　合均田地多寡方物贵贱道里逺近
　　设甲乙丙丁戊五处定粟二千石以田地之多寡道里之逺近粟价之贵贱均输之甲地二万零五百二十畆粟价每石二两自输本处乙地一万二千三百一十二畆粟价每石一两至输所二百里丙地七千一百八十二畆粟价每石一两二钱至输所一百五十里丁地一万三千三百三十八畆粟价每石一两七钱至输所二百五十里戊地五千一百三十畆粟价每石一两三钱至输所一百五十里每石每里僦车银四厘求各应输数法曰先置甲地为实以粟价二两为法除之得一千零二十六衰次置乙地为实以僦银四厘因至输所二百里【得八钱】并入粟价一两【共一两八钱】为法除实得六百八十四衰次置丙地为实以僦银四厘因至输所一百五十里【得六钱】并入粟价一两二钱【共一两八钱】为法除实得三百九十九衰又次置丁地为实以僦银四厘因至输所二百五十里【得一两】并入粟价一两七钱【共二两七钱】为法除实得四百九十四衰末置戊地为实以僦银四厘因至输所一百五十里【得六钱】并入粟价一两三钱【共一两九钱】为法除实得二百七十衰合五数【共二千八百七十三衰】为总衰置定粟二千石以甲衰乘之【得二百零五万二千石】以总衰除之得七百一十四石二斗三升五合九勺九抄为甲数置二千石以乙衰乗之【得一百三十六万八千石】以总衰除之得四百七十六石一斗五升七合三勺三抄为乙数置二千石以丙衰乗之【得七十九万八千石】以总衰除之得二百七十七石七斗五升八合四勺四抄为丙数置二千石以丁衰乗之【得九十八万八千石】以总衰除之得三百四十三石八斗九升一合四勺为丁数置二千石以戊衰乗之【得五十四万石】以总衰除之得一百八十七石九斗五升六合八勺四抄为戊数
　　解曰因地畆以定粟数则输粟均矣而价值有贵贱犹未均也故取粟价除地畆以均贵贱贵贱均矣而道里有逺近犹未均也故又取僦值并入粟价以均逺近此衰分法也

　　数学钥巻五上之下
　　钦定四库全书
　　数学钥巻五下之上
　　柘城杜知耕撰
　　盈朒
　　一则
　　盈适足
　　设和买一物每人出银七两盈六两每人出银五两适足求物价人数法曰列七两盈六两于右列五两于左以左上乗右下【得三十两】为物实右下六两为人实
　　另以左上右上对减【余二两】为
　　法以法除物实得一十五两
　　为物价以法除人实得三为
　　人数
　　解曰甲为七两乙为五两
　　丙为五两七两对减之二两各三倍之为丁戊己己即出七两所盈之六两己与戊或与丁之比例必若丙与乙或与甲也丁与甲戊与乙之比例必皆若己与丙也法以五两乗盈六两以对减所
　　余之二两除之者借
　　丙与己之比例因乙
　　以求戊也戊即物价
　　倍数则人数也

　　二则
　　朒适足
　　设贵贱二物贵价七两贱价五两以银买贵物朒六两买贱物适足求物数银数法曰列贵价
　　七两朒六两于右列贱价
　　五两于左以左上乗右下
　　【得三十两】为银实右下六两
　　为物实另以左上右上
　　对减【余二两】为法以法除
　　银实得一十五两为银数以法除物实得三为物数
　　解曰甲为贱价乙为贵价丙为两价之较丁为贱物之共价即银数也戊为贵物之共价己则
　　两共价之较也丁与
　　甲戊与乙之比例皆
　　若己与丙此借丙与
　　己之比例因甲以求
　　丁也既得丁而戊不
　　待言矣
　　三则
　　两盈
　　设有银七人分之盈二两五人分之盈八两求共银及分银数法曰列七人盈二两于右列五人盈八两于左先以右上乗左下【得五十六两】次以左上乗右下【得十两】两数对减【余四十六两】为共银实又以左下右下对减【余六两】为分银实另以左上右上对减【余二】为法以法除
　　共银实得二十三两为共
　　银数以法除分银实得三
　　两为每人分银数
　　解曰七人分之盈二两是
　　七倍三两朒于共银之数
　　以五人乗之则是三十五倍三两朒于五倍共银之数也又五人分之盈八两是五倍三两朒于共银之数以七人乗之则是三十五倍三两朒于七倍共银之数也今以三十五倍三两朒于五倍共银之数【即一十两】减三十五倍三两朒于七倍共银之数【即五十六两】所余必二倍共银之数矣故以五七对减之二为法除之即得共银也以法除分银实得分银数与前二则除人实物实得人数物数同
　　四则
　　两朒
　　设有银每人分七两朒八两每人分五两朒二两求人及银数法曰列分七两朒八两于右列分五两朒二两于左先以右上乗左下【得十四两】次以左上乗右下
　　【得四十两】两数相减【余二十六两】为
　　银实又以左下右下对减
　　【余六两】为人实另以左上右
　　上对减【余二两】为法以法除
　　银实得一十三两为银数
　　以法除人实得三为人数
　　解曰以五两乗朒八两得四十两为三十五倍三两盈于五倍共银之数以七两乘朒二两得一十四两为三十五倍三两盈于七倍共银之数相减之余必为二倍共银之数故以法除之得银数余同前解五则
　　一盈一朒
　　设木不知髙以索五折比之木朒二尺七折比之木盈三尺求木髙及索长法曰以五折因朒二尺得十
　　尺以七折因盈三尺得二
　　十一尺列五折朒十尺于
　　右列七折盈二十一尺于
　　左先以右上乘左下【得一百零
　　五尺】次以左上乗右下【得七十尺】
　　两数并【共一百七十五尺】为索实又并左下右下【共三十尺】为木实另以左上右上对减【余二折】为法以法除索实得八十七尺五寸为索长以法除木实得一十五尺五寸为木髙
　　觧曰同此一索或为七折或为五折必五折长而七折短也虽不知每折之度而每五长折之盈于五短折者必二短折每七短折之朒于七长折者必二长折今长折盈于木髙二尺【木朒于索是索盈于木也】五长折盈于五倍木髙必十尺以七乗十尺则为三十五长折盈于三十五倍木髙之度短折朒于木髙三尺【木盈于索是索朒于木也】七短折朒于七倍木髙必二十一尺以五乘二十一尺则为三十五短折朒于三十五倍木髙之度两数并【即一百七十五尺为索实者】则三十五长折盈于三十五短折之度矣然三十五长折盈于三十五短折者即七倍五长折盈于七倍五短折之度亦即五倍七短折朒于五倍七长折之度也五倍七短折之朒于五倍七长折者十长折之度也七倍五长折之盈于七倍五短折者十四短折之度也十四短折为索之倍长十长折亦索之倍长也故以五七对减之二除之得索长余同前解
　　六则
　　带分子母盈适足【朒适足同】
　　设物以银三分之二买之盈五两以银二分之一买之适足求物价银数法曰列母三子二盈五两于右列母二子一于左先以右上乘左中得三两即以三两乘右下【得一十五两】为物实又以两母相乗得六两即
　　以六两乗右下【得三
　　十两】为银实又以左
　　上乗右中【得四两】与
　　左中得数相减【余一
　　两】为法以法除物
　　实仍得一十五两为物价以法除银实仍得三十两为银数
　　解曰以两母相乗得六两取两母之齐数也【六两为二倍三两亦三倍二两也】右母乗左子得三两即六两二分之一也左母乗右子得四两即六两三分之二也以六两三分之二之四两与六两二分之一之三两较相差止一两今三分之二盈五两二分之一适足是元银三分之二与元银二分之一较则相差五两矣以相差之五两与相差之一两较为五倍之比例因知元银之与六两物价之与三两必皆为五倍之比例法以六两乗五两以一两除之者是借一两与五两之比例因六两以求元银也以三两乗五两以一两除之者亦借一两与五两之比例因三两以求物价也七则
　　带分子母两盈【两朒同】
　　设物以银四分之三买之盈七两五钱以银六分之四买之盈五两求物价银数法曰列母四子三盈七两五钱于右列母六子四盈五两于左先以右上乘
　　左中得一十六两
　　即以一十六两乗
　　右下【得一百二十两】次以
　　左上乗右中得一
　　十八两即以一十
　　八两乗左下【得九十两】两数相减【余三十两】为物实又以两母相乗得二十四两以二十四两乗右下【得一百八十两】以二十四两乗左下【得一百二十两】两数相减【余六十两】为银实另以左中右中两得数相减【余二两】为法以法除物实得一十五两为物价以法除银实得三十两为银数解曰二十四两为两母之齐数左中得十六两为二十四两六分之四右中得十八两为二十四两四分之三两数相差二两今盈五两与盈七两五钱较则差二两五钱是二十四两与元银之比例必若二两与二两五钱矣以二十四两乗两下对减为银实以法除之亦借比例法也【先乗后相减与先减后乗得数同】又求物实本当以元银六分之四乗右下四分之三乗左下然尚未得两率之数不得不借与两率比例等者用之与两率之比例等者乃二十四两六分之四之十六与四分之三之十八也故以之互乗两下左得九十两为一十八倍元银六分之四盈于一十八倍物价之数右得一百二十两为一十六倍元银四分之三盈于一十六倍物价之数而一十六倍四分之三与一十八倍六分之四两数实等是以对减之余即为二倍物价也故以十六十八对减之二除之得物价八则
　　带分子母一盈一朒
　　设物以银十二分之七买之盈二两五钱以银六分之二买之朒五两求物价银数法曰列母十二子七盈二两五钱于右列母六子二朒五两于左先以右上乗左中得二十四两即以二十四两乗右下【得六十两】
　　次以左上乗右中
　　得四十二两即以
　　四十二两乗左下
　　【得二百一十两】两数并【共二
　　百七十两】为物实又以
　　两母相乗得七十二两以七十二两乗左下【得三百六十两】以七十二两乗右下【得一百八十两】两数并【共五百四十两】为银实另以左中右中两得数相减【余一十八两】为法以法除物实得一十五两为物价以法除银实得三十两为银数
　　解曰七十二两为两母之齐数二十四两为七十二两六分之二四十二两为七十二两十二分之七两数相差十八两并盈朒两数共七两五钱【一盈一朒相并犹两盈两朒相减也】为元银十二分之七与六分之二相差之数是七十二两与元银之比例必若十八两之与七两五钱矣以七十二两乗两下相并为银实以十八除之亦借比例法也【解同前】又求物实以四十二两乗左下得二百一十两为四十二倍六分之二朒于四十二倍物价之数以二十四两乗右下得六十两为二十四倍十二分之七盈于二十四倍物价之数然四十二倍六分之二实与二十四倍十二分之七等今并六十两与二百一十两共二百七十两必四十二倍物价盈于二十四倍物价之数也四十二倍物价之盈于二十四倍物价者即十八倍物价故以十八为法除之得物价○又法以左中得数二十四两乗左下得数二百一十两得五千零四十两以右中得数四十二两乗右下得数六十两得二千五百二十两并两数共七千五百六十两另以两子二七相乗得一十四两除之得五百四十两为银实以前法十八除之得数同○左下先以四十二乗之又以二十四乗之右下先以二十四乗之又以四十二乗之犹以二十四与四十二相乗得一千零八以乗之也以一千零八乗之又以两中相乗得一十四除之犹以一十四除一千零八得七十二以乗之也前法元以两母相乗得七十二以乗两下得数相并为银实与后法无异故得数同也

　　数学钥巻五下之上
　　钦定四库全书
　　数学钥卷五下之下
　　柘城杜知耕撰
　　方程
　　一则
　　二色方程
　　设稻三石菽二石共价银八两二钱四分又稻四石菽五石共价银一十二两二钱求二色价法曰列稻三石菽二石价八两二钱四分于右列稻四石菽五
　　石价一十二两二
　　钱于左先以右稻
　　遍乗左行【菽得一十五石
　　价得三十六两六钱】次以左
　　稻遍乗右行【菽得八石】
　　【价得三十二两九钱六分】以两价得数对减【余三两六钱四分】为实以两菽得数相减【余七石】为法除之得五钱二分为菽每石价以右行菽二石因之【或用左行菽五石亦可】得一两零四分为菽二石价以减右共价余七两二钱为稻三石价以稻三石归之得二两四钱为稻每石价
　　解曰欲得稻菽二色价须先求菽一色价欲求菽一色价须先减去稻数及稻价欲减去稻数及稻价必先齐两行稻数稻价而使之等今左价一十二两二钱为稻四石菽五石之共价以右稻三石遍乗之价得三十六两六钱是三倍元价矣既三倍元价则必为三倍稻数十二石三倍菽数十五石之共价右价八两二钱四分为稻三石菽二石之共价以左稻四石遍乗之价得三十二两九钱六分是四倍元价矣既四倍元价则必为四倍稻数十二石四倍菽数八石之共价两行稻数既各十二石是稻数齐矣稻数齐而稻价因之亦齐矣于稻十二石菽十五石价内减去稻十二石菽八石之价所余非菽七石之价而何故以两菽对减之七石除之得菽价菽价既得求稻价不须解矣○如欲先得稻价则列两菽数于两稻数之上以右菽二石遍乗左行以左菽五石遍乗右行两价得数相减余十六两八钱为实两稻得数对减余七石为法除之得稻价此与前法同
　　前齐稻数故先得
　　菽价此齐菽数故
　　先得稻价也○前
　　稻数齐以十二石
　　后菽数齐以十石
　　法中不曽明言十二石十石乃暗用数也后仿此二则
　　三色方程一法
　　设稻五石麦七石菽四石共价银二十六两六钱八分又稻四石麦二石菽三石共价银一十四两七钱六分又稻七石麦五石菽七石共价银二十九两四
　　钱四分求
　　三色价前
　　法曰列稻
　　五石麦七
　　石菽四石
　　价二十六
　　两六钱八
　　分于左列稻四石麦二石菽三石价一十四两七钱六分于中列稻七石麦五石菽七石价二十九两四钱四分于左先以中稻四石遍乗右行【麦得二十八石菽得一十六石价得一百零六两七钱二分】以右稻五石遍乗中行【麦得一十石菽得一十五石价得七十三两八钱】两行对减麦余一十八石菽余一石价余三十二两九钱二分次以中稻四石遍乗左行【麦得二十石菽得二十八石价得一百一十七两七钱六分】以左稻七石遍乗中行【麦得一十四石菽得二十一石价得一百零三两三钱二分】两行对减麦余六石菽余七石价余一十四两四钱四分
　　解曰二色方程减去一色即得余一色之价三色方程必减去二色方得一色之价然无一算并减二色之法故前法互乗对减先减去一色也
　　后法曰列余麦一十八石余菽一石余价三十二两九钱二分于右列余麦六石余菽七石余价一十四两四钱四分于左先以右麦一十八石遍乗左行【菽得一百二十六石价得二百五十九两九钱二分】次以左麦六石遍乗右行【菽得六石价得一百九十七两五钱二分】以两价得数对减【余六十二两四钱】为实以两菽得数对减【余一百二十石】为法除之得五钱二分为
　　菽价以左菽七石
　　因之【得三两六钱四分】以
　　减左价【余十两零八钱】以
　　左麦六石除之得
　　一两八钱为麦价
　　取前图中行麦二石因麦价【得三两六钱】菽三石因菽价【得一两五钱六分】并两数【共五两一钱六分】减中价【余九两六钱】以中稻四石除之得二两四钱为稻价
　　解曰减去稻数稻价余麦菽二色故用二色方程法得菽价
　　三则
　　三色方程二法
　　设稻五石麦七石菽四石共价银二十六两六钱八
　　分又稻四
　　石麦二石
　　菽三石共
　　价银一十
　　四两七钱
　　六分又麦五石菽七石共价银一十二两六钱四分求三色价前法曰列稻五石麦七石菽四石价二十六两六钱八分于右列稻四石麦二石菽三石价一十四两七钱六分于左先以右稻五石遍乗左行【麦得十石菽得一十五石价得七十三两八钱】次以左稻四石遍乗右行【麦得二十八石菽得一十六石价得一百零六两七钱二分】两行对减麦余一十八石菽余一石价余三十二两九钱二分
　　解曰麦五石菽七石价十二两六钱四分不与两行并列何也葢前法元为减去稻价稻数取麦菽二色今此率本无稻数稻价故直与余麦余菽余价并列为后法也
　　后法曰列麦五石菽七石价一十二两六钱四分于右列余麦一十八石余菽一石余价三十二两九钱
　　二分于左先以右
　　麦五石遍乗左行
　　【菽得五石价得一百六十四两六钱】次以左麦一十八
　　石遍乗右行【菽得一百】
　　【二十六石价得二百二十七两五钱二分】以两价得数相减【余六十二两九钱二分】为实以两菽得数对减【余一百二十一石】为法除之得五钱二分为菽价【求麦价稻价同前】
　　四则
　　正负同异加减一法
　　设麦七石稷五石共价银一十六两二钱五分今以麦二石増银二两二钱四分换稷八石求二色价法曰列正麦七石正稷五石正价一十六两二钱五分于右列负麦二石正稷八石正价二两二钱四分于
　　左先以右正麦七
　　石遍乗左行【稷得五十
　　六石价得一十五两六钱八分】次
　　以左负麦二石遍
　　乗右行【稷得十石价得三十】
　　【二两五钱】两价得数同名相加【共四十八两一钱八分】为实两稷得数同名相加【共六十六石】为法除之得七钱三分为稷价【求麦价同一则】
　　解曰左行价二两二钱四分増二石麦价方与稷八石之价等麦二石乃倒欠之数故谓之负余皆谓之正者所以别于负也左右两麦相乘各得一十四石为正负之齐数以负麦遍乗右行价得三十二两五钱为麦一十四石稷十石之共价以正麦遍乗左行价得一十五两六钱八分尚欠一十四石麦价不足稷五十六石之价若将右行麦一十四石之价移于左行则右银必为稷十石之价左银必为稷五十六石之价故并之为稷六十六石之价○以正加正以负加负谓之同名相加以正减正以负减负谓之同名相减以正加负以负加正谓之异名相加以正减负以负减正谓之异名相减
　　五则
　　正负同异加减二法
　　设稻四石黍七石共价银一十五两五钱五分今以黍三石増银九两四钱五分换稻五石求二色价法曰列正稻四石正黍七石正价一十五两五钱五分于右列正稻五石负黍三石正价九两四钱五分于左先以右正稻四石遍乗左行【黍得一十二石价得三十七两八钱】次
　　以左正稻五石遍
　　乗右行【黍得三十五石价得
　　七十七两七钱五分】两价得
　　数同名相减【余三十九
　　两九钱五分】为实两黍
　　得数异名相加【共四十七石】为法除之得八钱五分为黍价【求稻价同一则】
　　解曰以右稻遍乗左行价得三十七两八钱尚欠一十二石黍价不足稻二十石之价以左稻遍乗右行价得七十七两七钱五分为稻二十石黍三十五石之共价若以稻二十石全价减之必余黍三十五石之价今以左行尚欠一十二石黍价不足稻二十石之价减之故余四十七石黍价也
　　六则
　　正负同异加减三法
　　设麦五石稷八石共价银一十四两八钱四分又麦四石黍二石共价银八两九钱又黍五石稷三石共价银六两四钱四分求三色价前法曰列麦五石黍
　　空稷八石
　　价一十四
　　两八钱四
　　分于右列
　　麦四石黍
　　二石稷空价八两九钱于左先以右麦五石遍乗左行【黍得十石价得四十四两五钱】次以左麦四石遍乗右行【稷得三十二石价得五十九两三钱六分】两行对减右行黍空取左黍十石为本位负数左行稷空右稷无减仍得三十二石价余一十四两八钱六分
　　解曰以右麦遍乗左行价得四十四两五钱为麦二十石黍十石之共价以左麦遍乗右行价得五十九两三钱六分为麦二十石稷三十二石之共价两价对减必余右稷三十二石与左黍十石两价相差之数于右立负黍十石者谓余价一十四两八钱六分再増黍十石之价方足稷三十二石之价犹以黍十石増银一十四两八钱六分换稷三十二石也或问右行黍空左行稷空不立负于左而必立负于右者何也葢前法原于多内减少以取二色之价今右稷三十二石价多于左黍十石价若于左立负稷亦须立负价矣是以立负于右而不立于左也
　　后法曰列正黍五石正稷三石正价六两四钱四分
　　于右列余负黍十
　　石余正稷三十二
　　石余正价一十四
　　两八钱六分于左
　　先以右正黍五石
　　遍乗左行【稷得一百六十石价得七十四两三钱】次以左负黍十石遍乗右行【稷得三十石价得六十四两四钱】两价得数同名相加【共一百三十八两七钱】为实两稷得数同名相加【共一百九十石】为法除之得七两三钱为稷价【求麦价黍价同二则】
　　解曰后法同四则
　　七则
　　正负同异加减四法
　　设麦四石黍五石价银一十一两四钱五分又麦五石稷二石价银一十两零四钱六分又黍四石稷七
　　石价银八
　　两五钱一
　　分求三色
　　价前法曰
　　列麦四石
　　黍五石稷空价一十一两四钱五分于右列麦五石黍空稷二石价一十两零四钱六分于左先以右麦四石遍乗左行【稷得八石价得四十一两八钱四分】次以左麦五石遍乗右行【黍得二十五石价得五十七两二钱五分】两行对减左行黍空右黍无减仍得二十五石右行稷空取左稷八石为本位负数价余一十五两四钱一分
　　解曰右价得五十七两二钱五分为麦二十石黍二十五石之共价左价得四十一两八钱四分为麦二十石稷八石之共价两价对减余一十五两四钱一分即二十五石黍价多于八石稷价之数是以余银并八石稷价方足黍二十五石之价故立负稷八石也余同前则
　　后法曰列正黍四石正稷七石正价八两五钱一分
　　于右列余正黍二
　　十五石余负稷八
　　石余正价一十五
　　两四钱一分于左
　　先以右正黍四石
　　遍乗左行【稷得三十二石价得六十一两六钱四分】次以左正黍二十五石遍乗右行【稷得一百七十五石价得二百一十二两七钱五分】两价得数同名相减【余一百五十一两一钱一分】为实两稷得数异名相加【共二百零七石】为法除之得七钱三分为稷价【求黍价麦价同二则】解曰后法同五则
　　八则
　　正负同异加减五法
　　设以稷七石増银四两零七分换麦二石粟九石又以麦三石换稷四石粟四石适平又以麦一石稷一石増银四两九钱一分换粟一十二石求三色价前法曰列正麦二石负稷七石正粟九石正价四两零七分于右列负麦三石正稷四石正粟四石价空于中列负麦一石负稷一石正粟一十二石正价四两
　　九钱一分
　　于左先以
　　右正麦二
　　石遍乗中
　　行【稷得八石粟得
　　八石价空】以中
　　负麦三石
　　遍乗右行【稷得二十一石粟得二十七石价得一十二两二钱一分】两稷得数异名相减余一十三石两粟得数同名相加共三十五石中价空无加仍得一十二两二钱一分
　　解曰右价得一十二两二钱一分是尚欠稷二十一石价不足麦六石粟二十七石之价中价空是稷八石粟八石适等于麦六石之价若减右麦六石即以稷粟各八石补之其价不须増减必相均平矣然右稷乃倒欠之数不可相加故减之减倒欠犹之加正数也
　　次以左负麦一石遍乗中行【稷仍得四石粟仍得四石价空】以中负麦三石遍乗左行【稷得三石粟得三十六石价得一十四两七钱三分】两稷得数异名相加共七石两粟得数同名相减余三十二石中价空无减仍得一十四两七钱三分
　　解曰左价得一十四两七钱三分是尚欠麦稷各三石价不足粟三十六石之价中价空是麦三石适等于稷粟各四石之价若减左负麦三石复减正稷正粟各四石其价不须増减必相均平然左非正稷乃倒欠之数不可相减故加之加倒欠犹之减正数也后法曰列余负稷一十三石余正粟三十五石余正价一十二两二钱一分于右列余负稷七石余正粟
　　三十二石余正价
　　一十四两七钱三
　　分于左先以右负
　　稷一十三石遍乗
　　左行【粟得四百一十六石价得】
　　【一百九十一两四钱九分】次以左负稷七石遍乗右行【粟得二百四十五石价得八十五两四钱七分】两价得数同名相减【余一百零六而零二分】为实两粟得数同名相减【余一百七十一石】为法除之得六钱二分为粟价【求麦价稷价同二则】
　　解曰两稷皆负两粟两价皆正左右相等故法同二色方程
　　九则
　　四色方程
　　设稻一石麦五石黍三石稷七石共价银一十九两零六分又稻八石麦四石黍七石稷六石共价银三十六两七钱三分又稻三石麦二石黍五石稷七石共价银二十两零一钱六分又稻四石麦二石黍六石稷四石共价银二十一两二钱二分求四色价前

　　法曰列稻一石麦五石黍三石稷七石价一十九两零六分于右列稻八石麦四石黍七石稷六石价三十六两七钱三分于次右列稻三石麦二石黍五石稷七石价二十两零一钱六分于次左列稻四石麦二石黍六石稷四石价二十一两二钱二分于左先以右稻一石遍乗次右行【仍得元数】以次右稻八石遍乗右行【麦得四十石黍得二十四石稷得五十六石价得一百五十二两四钱八分】两行对减麦余三十六石黍余一十七石稷余五十石价余一百一十五两七钱五分次以次右稻八石遍乗次左行【麦得十六石黍得四十石稷得五十六石价得一百六十一两二钱八分】以次左稻三石遍乗次右行【麦得十二石黍得二十一石稷得十八石价得一百一十两零一钱九分】两行对减麦余四石黍余一十九石稷余三十八石价余五十一两零九分末以次左稻三石遍乗左行【麦得六石黍得一十八石稷得一十二石价得六十三两六钱六分】以左稻四石遍乗次左行【麦得八石黍得二十石稷得二十八石价得八十两零六钱四分】两行对减麦余二石黍余二石稷余一十六石价余一十六两九钱八分
　　解曰前法减稻一色余麦黍稷三色
　　次法曰列余麦三十六石余黍一十七石余稷五十石余价一百一十五两七钱五分于右列余麦四石余黍一十九石余稷三十八石余价五十一两零九分于中列余麦二石余黍二石余稷一十六石余价一十六两九钱八分于左先以右麦三十六石遍乗中行【黍得六百八十四石稷得一千三百六十八石价得一千八百三十九两二钱四分】以中麦四石遍乗右行【黍得六十八石稷得二百石价得四百六十三两】两行对减黍余六百一十六石稷余一千一百六十八石价余一千三百七十六两二钱四分次以中麦四石遍
　　乗左行【黍得
　　八石稷得六十四石
　　价得六十七两九钱
　　二分】以左麦
　　二石遍乗
　　中行【黍得三十
　　八石稷得七十六石】
　　【价得一百零二两一钱八分】两行对减黍余三十石稷余一十二石价余三十四两二钱六分
　　觧曰次法减麦一色余黍稷二色
　　后法曰列余黍六百一十六石余稷一千一百六十八石余价一千三百七十六两二钱四分于右列余黍三十石余稷一十二石余价三十四两二
　　钱六分于左以右
　　黍六百一十六石
　　遍乗左行【稷得七千三百
　　九十二石价得二万一千一百零四
　　两一钱六分】以左黍三
　　十石遍乗右行【稷得三万五千零四十石价得四万一千二百八十七两二钱】两价得数对减【余二万零一百八十三两零四分】为实两稷得数对减【余二万七千六百四十八石】为法除之得七钱三分为稷价【求黍麦稻价同二则】
　　解曰后法同二色方程五色六色以上仿此○按方程之要在加减加减之闗键在首位【谓第一横行】首位同名则异名相加同名相减首位异名则同名相加异名相减然大略如是亦有不尽然者有应减者无可减而反加之有应加者无可加而反减之变化无穷【数学钥卷五下之下】

　　亦存乎人之自悟耳
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
　　钦定四库全书
　　数学钥卷六凡例
　　柘城杜知耕撰
　　凡例
　　一则
　　纵曰股衡曰勾斜曰

　　二则
　　股大于勾者曰勾股较大于勾者曰勾较大于股者曰股较勾股并大于者曰和较
　　三则
　　勾股并曰勾股和勾并曰勾和股并曰股和勾股并曰勾股和亦曰和和
　　四则
　　勾股较加股较即勾较勾较减股较即勾股较和较加勾较即股和较加股较即勾和较加勾较股较即勾股较减股和即勾和勾股和加股较即勾和股和减勾和即勾股较股和减勾股和即勾较勾股较加勾股和半之为股勾股和减勾股较半之为勾股较加股和半之为股和减股较半之为股勾较加勾和半之为勾和减勾较半之为勾【用乗除开方相求者不在此例】
　　五则
　　或方形或直形有对角斜线者曰角线形

　　数学钥卷六凡例

　　钦定四库全书
　　数学钥卷六目録
　　柘城杜知耕撰
　　勾股
　　一则勾股求
　　二则勾求股
　　三则股求勾
　　四则勾股积及勾股较求
　　五则及勾股较求勾股积
　　六则及勾股积求勾股较
　　七则及勾股和求勾股较
　　八则勾股和及勾股积求
　　九则勾股和及勾股积求勾股较
　　十则及勾股较求勾股和
　　十一则勾股积及勾股较求勾股和
　　十二则及勾股积求勾股和
　　十三则勾和股和求勾股
　　十四则股及勾较求勾与
　　十五则勾及股较求股与
　　十六则股羃及勾较求勾和
　　十七则勾羃及股较求股和
　　十八则股羃及勾和求勾较
　　十九则勾羃及股和求股较
　　二十则勾较股较求勾股
　　二十一则相连之勾股求
　　二十二则相连之股求勾
　　二十三则相连之勾求股
　　【増】二十四则勾股形求对角之垂线
　　二十五则勾股形于上求自两角至垂线之度二十六则勾股形求容方一法
　　【西法】二十七则勾股形求容方二法
　　二十八则勾股形求容圆
　　【西法】二十九则勾股形求外切圆
　　三十则容方之勾股形以余勾余股求方边及全勾全股
　　三十一则容方之勾股形以余股及方边求余勾三十二则容方之勾股形以余勾及方边求余股三十三则日晷测髙
　　三十四则一表测髙
　　三十五则一表测逺
　　三十六则一表测广
　　三十七则一表测深
　　三十八则重表测髙逺
　　三十九则重表测广深
　　四十则测逺之逺

　　数学钥巻六目録
　　钦定四库全书
　　数学钥卷六
　　柘城杜知耕撰
　　勾股
　　一则
　　勾股求
　　设勾六尺股八尺求法曰置勾股各自乗【勾得三十六尺股得六十四尺】两数并【共一百尺】平方开之得十尺即所求解曰不论勾股相等与否勾上方形及股上方形并
　　必与上方形等如甲乙丙
　　勾股形甲乙勾与丙乙股等
　　试作乙丁等髙同底方形其
　　边与甲乙等必为勾上方又
　　与丙乙等亦必为股上方再
　　作戊巳外切方形其边与甲丙等即为上方若于形内减去乙丁方形余甲乙戊等四三角形并之复等一乙丁方形【一卷十一则】以乙丁为勾方以等乙丁之四三角形为股方并之不等于戊巳方乎又如庚
　　辛壬勾股形庚辛短辛壬长
　　勾与股不相等者于庚辛勾
　　辛壬股庚壬上各作方形
　　为庚癸辛子辛丑次作辛寅
　　辛癸辛辰壬丑庚子五线几
　　何原本云庚辛壬与庚辛午既皆方角即午辛辛壬是一直线依显庚辛辛巳亦一直线又壬庚辰与辛庚丑既皆方角而每加一辛庚壬角即辛庚辰与壬庚丑两角亦等依显辛壬癸庚壬子两角亦等又庚
　　辛辰三角形之辛庚庚
　　辰两边与庚壬丑三角
　　形之丑庚庚壬两边等
　　辛庚辰与壬庚丑两角
　　复等则对等角之辛辰
　　与壬丑两边亦等而此
　　两三角形亦等矣夫辛
　　丑方形倍大于同庚丑底同在平行线内之庚壬丑三角形【一卷八则既谓直形等于平行线内同底之象目形则必能倍大于平行线内同底之三角形】而辰卯直形亦倍大于同庚辰底同在平行线内之庚辛辰三角形则辛丑方形不与辰卯直形等乎依显辛子方形与癸卯直形等则癸庚一形与辛子辛丑两形并等矣法以勾股各自乗求勾股上两方形也两形并则为上之方积故平方开之得也二则
　　勾求股
　　设勾六尺十尺求股法曰置勾各自乗【勾得三十六尺得一百尺】两数相减【余六十四尺】平方开之得八尺即所求解曰上方积当一勾一股上方积于积内减去勾积所余非股积而何故平方开之得股
　　三则
　　股求勾
　　设股八尺十尺求勾法曰置股各自乗【股得六十四尺得一百尺】两数相减【余三十六尺】平方开之得六尺即所求解曰积内减去股积所余必勾积故平方开之得勾
　　四则
　　勾股积及勾股较求
　　设勾股积二十四尺勾股较二尺求法曰置勾股积四因之【得九十六尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数并【共一百尺】平方开之得十尺即所求
　　解曰甲乙丙
　　勾股形与戊
　　巳甲丁庚戊
　　乙辛丁三勾
　　股形等甲丙
　　为甲乙丙形之股甲巳为戊巳甲形之勾于甲丙截甲巳余己丙则勾股较也丙辛辛庚庚巳各与己丙等是己辛为勾股较上方形又甲乙为甲乙丙形之而丁乙戊丁甲戊各与甲乙等是甲丁为上方形今并五形成一甲丁方形则是一上方形与四
　　勾股积一勾股较上方积并等矣
　　故四因勾股积并入勾股较自乗
　　之积平方开之得也又如壬子
　　癸勾股形壬子勾与子癸股等四
　　形并即成一壬丑上方形而无余凡遇勾股相等之勾股形四因积平方开之即得度
　　五则
　　及勾股较求勾股积
　　设十尺勾股较二尺求勾股积法曰置与勾股较各自乗【得一百尺勾股较得四尺】两数相减【余九十六尺】以四归之得二十四尺即所求
　　解曰上方积减去勾股较上方积必余四勾股积故四归之得一勾股积
　　六则
　　及勾股积求勾股较
　　设十尺勾股积二十四尺求勾股较法曰置自乗【得一百尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数相减【余四尺】平方开之得二尺即所求
　　解曰上方积减去四勾股积所余必勾股较上方积故平方开之得勾股较
　　七则
　　及勾股和求勾股较
　　设十尺勾股和一十四尺求勾股较法曰置自乗
　　【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股和
　　自乗【得一百九十六尺】两数相减【余四尺】平方开之得二尺即所求
　　解曰甲巳方形内凡八勾股
　　形而皆等乙戊为戊丁乙形
　　之股甲乙为乙丙甲形之勾甲乙乙戊并得甲戊乃勾股和也余三边皆等于甲戊是甲己为勾股和上方形又丙丁为上方形辛壬为勾股较上方形【本卷
　　四则】夫上方形内得勾股形
　　四及勾股较上方形一勾股
　　和上方形内得勾股形八及
　　勾股较上方形一是一勾股
　　和上方形当上方形二而
　　少一勾股较上方形也故倍
　　羃减勾股和自乗之积平方开之得勾股较八则
　　勾股和及勾股积求
　　设勾股和一十四尺勾股积二十四尺求法曰置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数相减【余一百尺】平方开之得十尺即所求
　　解曰勾股和上方大于上方者四勾股积也故相减开方得
　　九则
　　勾股和及勾股积求勾股较
　　设勾股和一十四尺勾股积二十四尺求勾股较法曰置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股积八因之【得一百九十二尺】两数相减【余四尺】平方开之得二尺即所求解曰勾股和上方大于勾股较上方者八勾股积也故相减开方得勾股较
　　十则
　　及勾股较求勾股和
　　设十尺勾股较二尺求勾股和法曰置自乗【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数相减【余一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求
　　解曰倍上方积大于勾股和上方积者勾股较上方积也故相减开方得勾股和
　　十一则
　　勾股积及勾股较求勾股和
　　设勾股积二十四尺勾股较二尺求勾股和法曰置勾股积八因之【得一百九十二尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数并【共一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求解曰即九则法反用之
　　十二则
　　及勾股积求勾股和
　　设十尺勾股积二十四尺求勾股和法曰置自乗【得一百尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数并【共一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求
　　解曰即八则法反用之
　　十三则
　　勾和股和求勾股
　　设勾和一十六尺股和一十八尺求勾股法曰置勾和股和相乗【得二百八十八尺】倍之【得五百七十六尺】平方开之得二十四尺为勾股和与勾和相减
　　余八尺即股与股和相减
　　余六尺即勾与二勾一股相
　　减余十尺即
　　解曰甲乙直形为勾和股
　　和矩内形乙丁乙丙皆与
　　等丁戊与勾等丙庚与股等则己乙必为方巳戊必勾矩内形己庚必股矩内形甲巳必勾股矩内形辛壬方形为勾股和上方形壬癸壬子皆与等癸丑子寅皆与股等丑卯寅辰皆与勾等则
　　巳壬必为
　　方午巳必为
　　股方辛午必
　　为勾方未癸
　　申子必皆股
　　矩内形酉
　　丑戌寅必皆勾矩内形午酉午戌必皆勾股矩内形今以辛壬方形与甲乙直形较则未癸申子并倍于己庚酉丑戌寅并倍于巳戊午酉午戌并倍于甲巳又午巳股方与辛午勾方并与己壬方等是己壬午巳辛午三形并复倍于己乙分形既倍大于分形全形亦必倍大于全形是勾股和上方形一与勾和股和矩内形二并等矣故以勾和乗股和倍而开方得勾股和也于勾股和内减去一一股所余必勾减去一一勾所余必股减去一勾一股所余必也
　　十四则
　　股及勾较求勾与
　　设股八尺勾较四尺求勾法曰置股自乗【得六十四
　　尺】另置勾
　　较自乗【得一十六
　　尺】两数相减
　　【余四十八尺】折半
　　【得二十四尺】以勾
　　较除之得
　　六尺即勾加勾较得十尺即
　　解曰甲乙为上方形丙丁为勾上方形戊巳为勾较上方形于甲乙方内减去丙丁勾方所余必股上方积成一辛壬癸磬折形再减去勾较上方形所余必甲庚庚乙二直形而以甲丙乙丁为濶丙庚庚丁为长甲丙乙丁即勾较也丙庚庚丁为勾上方形之边即勾也法以两数相减所余者即二直形也折半者取二直形之一也以勾较除之得勾者即以濶除积得长也○或以两数相减之四十八尺为实倍勾较除之亦得勾○或以股自乗为实以勾较除之得数减勾较折半亦得勾
　　十五则
　　勾及股较求股与
　　设勾六尺股较二尺求股法曰置勾自乗【得三十六
　　尺】另置股较自乗【得四尺】两
　　数相减【余三十二尺】折半【得一十六尺】以股较除之得八尺即股
　　加股较共十尺即
　　解曰甲乙方内减去丙丁
　　股方戊巳股较方所余必甲
　　庚庚乙两直形折半则得一直形故以股较除之得股十六则
　　股羃及勾较求勾和
　　设股羃六十四尺勾较四尺求勾和法曰置股
　　羃为实以勾较除之
　　得一十六尺即所求
　　解曰十四则辛壬癸磬
　　折形其甲乙元与等
　　丙丁元与勾等若移癸
　　于戊则成辛壬戊直形以勾较为濶勾和为长矣故以勾较除股羃得勾和
　　十七则
　　勾羃及股较求股和
　　设勾羃三十六尺股
　　较二尺求股和法曰
　　置勾羃为实以股较
　　除之得一十八尺即所
　　求
　　解曰十五则辛壬癸磬折形其甲乙元与等丁丙元与股等若移癸于戊亦成辛壬戊直形以股较为濶股和为长矣故以股较除勾羃得股和十八则
　　股羃及勾和求勾较
　　设股羃六十四尺勾和一十六尺求勾较法曰置股羃为实以勾和除之得四尺即所求
　　解曰即十六则法反用之
　　十九则
　　勾羃及股和求股较
　　设勾羃三十六尺股和一十八尺求股较法曰置勾羃为实以股和除之得二尺即所求
　　解曰即十七则法反用之
　　二十则
　　勾较股较求勾股
　　设勾较四尺股较二尺求勾股法曰置勾较股较相乗【得八尺】倍之【得一十六尺】平方开之【得四尺】加股较得六尺即勾加勾较得八尺即股加勾
　　较股较得十尺即
　　解曰甲乙为方丁乙为勾
　　方甲丙为股方以丁乙勾方
　　甲丙股方错综加于甲乙
　　方之上必缺戊巳庚辛二直
　　形而重一丁丙方形然丁丙
　　方形必能补二直形之缺而与之等何也丁乙勾方甲丙股方并等于甲乙方若丁丙方形或大或小于二直形则是勾方股方并不与方等矣夫勾方股方并既与方等则二直形并亦必与丁丙方形等法以两较相乗而倍之者求二直形也【二直形以戊壬癸辛勾较为长以壬巳癸庚股较为濶】平方开之者求丁丙方形之一边也以一边加股较之癸庚得癸丁即勾加勾较之戊壬得丙壬即股加一勾较之戊壬一股较之癸庚得癸丁及戊壬即
　　二十一则
　　相连之勾股求
　　设圆柱髙二十尺周三尺以索绕柱七周与柱适齐
　　求索长法曰置柱周
　　三尺以索绕七周因
　　之【得二十一尺】自乗【得四百四
　　十一尺】另置柱髙自乗
　　【得四百尺】两数并【共八百四十一
　　尺】平方开之得二十
　　九尺即所求
　　解曰索绕柱七周即
　　七叚勾股也柱髙二十尺为七股七周二十一尺为七勾索长为七也此条元当七归柱髙取七股之一用勾股求法得数七因之为长然七归二十尺乃畸零不尽之数不得不七因勾以就股也以柱髙为股即并丁戊等七小股成一丙乙大股以七周为勾即并甲戊等七小勾成一甲乙大勾夫七小勾小股并既同于大勾大股而总求一甲丙大有不同于甲丁等七小并乎故求甲丙大为索长也二十二则
　　相连之股求勾
　　设圆柱髙二十尺索长二十九尺绕柱七周索与柱齐求柱周法曰置柱索各自乗【柱得四百尺索得八百四十一尺】两数相减【余四百四十一尺】平方开之【得二十一尺】以索绕七周归之得三尺即所求
　　解同前
　　二十三则
　　相连之勾求股
　　设圆柱周三尺索长二十九尺绕柱七周索与柱齐求柱髙法曰置柱周七因之【得二十一尺】自乗【得四百四十一尺】另置索自乗【得八百四十一尺】两数相减【余四百尺】平方开之得二十尺即所求
　　解同二十一则
　　二十四则
　　勾股形求对角之垂线
　　设勾六尺股八尺十尺求对角垂线法曰置勾股相乗【得四十八尺】以除之得四尺八寸即所求解曰勾股相乗必得丁丙直形与甲戊直形等何也丁丙直形倍大于甲乙丙勾股形甲戊直形
　　亦倍大于甲
　　乙丙勾股形
　　故等也以
　　除积得垂线
　　即以长除积
　　得濶也
　　二十五则
　　勾股形于上求自角至垂线之度
　　设勾三尺股四尺五尺求自角至垂线之度法曰
　　置勾自
　　乗【得九尺】以除
　　之得一
　　尺八寸
　　即乙角
　　至垂线之度与相减得三尺二寸即甲角至垂线之度
　　解曰甲乙上方形以对角戊丁线分之必成二直形而丁乙其一也丁乙直形与勾上方形等【本卷一则】以乙巳除之必得戊乙之度法以除者葢甲乙与乙巳等也○若欲先得甲戊则以除股羃
　　又法曰置为实以勾羃九尺乗之【得四十五尺】并勾股羃二十五尺除之亦得一尺八寸
　　解曰凡两形等髙形与形之比例若线与线【一卷四十五则】甲丁戊巳两形既等髙【图同前】则其比例必若甲戊与戊乙又甲丁与股羃等戊巳与勾羃等则股羃与勾羃之比例亦若甲戊与戊乙矣此借两羃之比例因全以求戊乙也○若欲先得甲戊则以股羃乗并两羃除之
　　又法曰并勾股【共七尺】以勾股较乗之【仍得七尺】以除之【得一尺四寸】与相减【余三尺六寸】折半亦得一尺八寸解曰此三角形求对角垂线法也【一卷三十一则】○若欲先得甲戊以一尺四寸与相并折半即得
　　二十六则
　　勾股求容方一法
　　设勾六尺股一十二尺求容以角切之方形法曰置勾股相乗【得七十二尺】以勾股相并【共一十八尺】除之得四
　　尺即容方之边
　　解曰甲乙丙勾股形
　　分甲丙于丁令丁
　　甲与丁丙之比例若
　　勾与股自丁作丁乙
　　线必分勾股形为甲丁乙乙丁丙两三角形一以勾为底一以股为底又两分形之比例亦若勾与股【防何原本云凡两形等髙者形与形之比例若底与底反之凡形与形之比例若底与底者两形之高必相等】令两分形各倍积求对角之垂线【本卷二十四则】一得丁戊一得丁巳两线必相等何也两垂线即两形之正髙两形之髙既等故两垂线必等也两线既等而又为为勾及股之垂线复切于丁则己戊形必为勾股所容之方而丁戊丁巳即容方之边也然分求之如是合求之亦必如是若并两形之倍积为实并两底除之亦得容方之边与丁戊【或丁已】等夫两形之倍积即勾与股相乗之积也两分形之底即勾与股也故置勾股相乗并勾股除之即得容方之度也
　　二十七则
　　勾股求容方二法
　　设一十五尺对角垂线五尺求容以角切勾与股之方形法曰置垂线为实以乗之【得七十五尺】以垂线
　　并除之得三尺七
　　寸五分即容方之边
　　解曰甲乙丙勾股形
　　丙丁为对角垂线分
　　垂线于戊令丙戊与
　　戊丁之比例若丙丁与甲乙则戊丁即所求之方边防何原本云作庚戊己线与甲乙平行次作庚壬己辛两线各与丙丁平行己庚既与甲乙平行即甲丁与丁乙若己戊与戊庚也合之即甲乙与丁乙若己庚与戊庚也又丁乙与丙丁若戊庚与丙戊平之即甲乙与丙丁若己庚与丙戊也又丙丁与甲乙若丙戊与戊丁平之即甲乙与甲乙若己庚与戊丁也甲乙与甲乙同线必等即己庚与戊丁必等而己庚与辛壬又等戊丁与己辛庚壬亦等则辛庚形必勾股所容之方形而戊丁即方边之度法以乗垂线而并与垂线除之者借甲乙与丙丁之比例因丙丁以求戊丁也
　　二十八则
　　勾股求容圆
　　设勾二十七尺股三十六尺四十五尺求容圆法曰置勾股相乗【得九百七十二尺】为实并勾股【共一百零八尺】除之得九尺即容圆之半径倍之得一十八尺即全径解曰甲乙丙勾股形自三角各出一线平分各角相
　　遇于丁即分勾股形为甲丁
　　乙乙丁丙丙丁甲三三角形
　　一以全形之勾为底一以股
　　为底一以为底各角既平
　　分而复有一边同线则三形
　　必等髙令三形各倍积求对角之垂线【本卷二十四则】一得丁戊一得丁已一得丁庚三垂线必等何也三垂线即三形之正髙三形既等髙故垂线必等也三线既等其相遇处必容圆之心【几何原本云凡圆内出三线至界而皆等者其防必是圆心】而三线皆半径也然分求之如是合求之亦必如是若并三形之倍积为实并三底除之亦得容圆之半径与丁戊【或丁已或丁庚】等夫三分形之倍积即勾与股相乗之积也三分形之底即勾股也故置勾股相乗并勾股除之得容圆之半径也
　　二十九则
　　勾股求外切圆
　　设勾股长二十八尺求外切圆周法曰置二十二乗七除得八十八尺即所求
　　解曰此圆径求周法也【二卷一则】今以之求勾股外切圆
　　形何也凡圆内以径为底任
　　作三角形皆成勾股如甲乙
　　丙形丙为方角甲乙丁形丁
　　为方角甲乙戊形戊为方角
　　反之以为径作圆必外切
　　勾股形之方角
　　三十则
　　容方之勾股以余勾余股求方边及全勾全股
　　设容方之余勾二尺余股八尺求方边及全勾股法曰置余勾余股相乗【得一十六尺】平方开之得四尺即方
　　边以四尺加余勾得六
　　尺即全勾以四尺加余
　　股得一十二尺即全股
　　解曰甲乙丙勾股形容
　　壬巳方形自甲作甲丁
　　线以丙丁线联之成乙
　　丁直形复于己庚壬庚
　　两线引之至戊至辛必分乙丁直形为四形其甲庚庚丙同依甲丙对角线为两角线形其乙庚庚丁为两余形两余形之容必相等防何原本云甲丙对角线必分乙丁全形为丁甲丙乙丙甲相等两勾股形亦分庚丙角线形为辛庚丙巳丙庚相等两勾股形亦分甲庚角线形为戊甲庚壬庚甲相等两勾股形试于乙丙甲形内减去己丙庚形于丁甲丙形内减去辛庚丙形乙丙甲丁甲丙两形既等减去之己丙庚辛庚丙两形复等则所余之甲乙庚巳甲丁庚辛两斜方形必相等再于甲乙庚己形内减去甲庚壬形于甲丁庚辛形内减去戊甲庚形两斜方既等减去之甲庚壬戊甲庚两形复等所余戊辛直形与壬巳方形安得不等夫甲乙丙勾股形之甲乙勾减去壬巳方形之壬乙边余甲壬即余勾丙乙股减去己乙边余丙巳即余股辛庚与余股等戊庚与余勾等则戊辛直形之容必即余勾余股相乗之积而戊辛直形又与壬巳方形等则壬巳方形之容亦必余勾余股相乗之积也故置余勾股相乗平方开之得容方边也
　　三十一则
　　容方之勾股以余股及方边求余勾
　　设容方之余股八尺方边四尺求余勾法曰置方边自乗【得　十六尺】以余股除之得二尺即所求
　　解曰壬己方形既等于戊辛直形【图同前】而直形以余股为长以余勾为濶故以余股除积得余勾
　　三十二则
　　容方之勾股以余勾及方边求余股
　　设容方之余勾二尺方边四尺求余股法曰置方边自乗【得一十六尺】以余勾除之得八尺即所求
　　解同前
　　三十三则
　　日晷测高
　　设物不知髙止得物景一十二尺立表八尺表景二尺四寸求物髙法曰置物景为实以表髙乗之【得九十六尺】以表景除之得四十尺即所求
　　解曰物髙与物景表高与表景各以日光联之必皆
　　成勾股形而
　　体势等凡两
　　形体势等者
　　其比例必等
　　物髙与物景
　　之比例必若表髙之与表影也又表影与物景之比例必若表髙之与物髙也今物景既五倍于表景因知物高亦必五倍于表髙矣法以表髙乗物景而以表景除之者借表景与物景之比例因表髙以求物髙也
　　三十四则
　　一表测髙
　　设物不知髙距物二十五尺立表十尺又退行五尺立窥表四尺自窥表望之物末与表末相齐成一直线求物髙法曰置表距髙物二十五尺为实以窥表减表【余六尺】乗之【得一百五十尺】以退行五尺除之得三十尺为表外之髙加表髙共四十尺即物髙
　　解曰癸丁为物髙壬子为表髙乙丑为窥表乙丁对
　　角线为视线戊壬为表距髙
　　物之二十五尺壬辛为窥表
　　减表所余之六尺乙辛为退
　　行之五尺也甲丙一形分为
　　四形其辛巳戊庚为两角线
　　形其甲壬壬丙为两余形两
　　余形之容必相等【本卷三十则】法
　　以窥表减表以乗距髙物之
　　度必得甲壬余形之积甲壬
　　既等于壬丙则甲壬余形之积亦即壬丙余形之积矣故以退行五尺除之得庚壬庚壬与丁戊等丁戊则物髙于表之度也是以加表得物之全髙
　　三十五则
　　一表测逺
　　设物不知逺立表四尺退二尺五寸立窥表四尺五寸自窥表望之物脚与表末相齐成一直线求物逺法曰置表髙为实以退二尺五寸乗之【得十尺】以表减
　　窥表【余五寸】除之得二十尺
　　即表距逺物之度
　　觧曰以退二尺五寸乗表
　　髙必得辛巳余形之积然
　　辛己与戊庚等则辛己余
　　形之积亦即戊庚余形之
　　积矣故以表减窥表所余
　　之五寸除之得壬戊壬戊与辛甲等辛甲则表距逺物之度也
　　三十六则
　　一表测广
　　设邑不知广立窥表于甲甲距邑丁角五百尺立表于壬自甲视邑之丙角与表相齐成一直线次移前表于戊令戊壬与邑平行自甲视邑之丁角亦与表相齐成一直线自甲至戊二尺戊至壬六尺求邑广法曰置窥表距丁角五百尺为实以戊至壬六尺乗之【得三千尺】以甲至戊二尺除之得一千五百尺即邑广解曰戊庚辛己两余形既等每加一辛戊角线形成
　　甲庚甲己两直形两
　　形之容必亦等何也
　　两余形既等所加者
　　复等故也法以戊壬
　　乗甲丁必得甲庚直
　　形之积甲庚直形之
　　积即甲己直形之积
　　也故以甲戊除之得
　　戊巳戊巳与丁丙等丁丙则邑广也
　　三十七则
　　一表测深
　　设井不知深
　　井面濶八尺
　　自井边退二
　　尺立表六尺
　　自表末视水
　　面甲角与壬
　　边相齐成一
　　直线求井边至水面之深法曰置面濶八尺为实以表髙乗之【得四十八尺】以表至井边二尺除之得二十四尺即所求
　　解曰以表髙乗井濶即以丙己乗戊壬所得必戊庚余形之积戊庚余形之积即辛己余形之积故以表距井边之壬己除之得壬辛壬辛即井深也
　　三十八则
　　重表测髙远
　　设物不知髙及逺立表十尺退行五尺立窥表四尺自窥表望之物末与表末相齐成一直线自表退行一十五尺复立表十尺又退行八尺复立窥表四尺自窥表望之物末亦与表末相齐成一直线求髙及逺法曰置窥表减表余六尺为实以两表相距一十五尺乗之【得九十尺】以前窥表距前表五尺减后窥表距后表八尺余三尺除之得三十尺即表外之髙加表高共四十尺即物髙又置前窥表距前表五尺为实以两表相距一十五尺乗之【得七十五尺】亦以两窥表距两表之度相减余三尺除之得二十五尺即物逺解曰自窥表末及表末作丙丁甲乙两平行线以戊
　　乙戊己两视线联之必
　　成六勾股形其丙庚戊
　　形为甲己戊之截形两
　　形之比例必等辛己庚
　　形亦甲己戊之截形两
　　形之比例必亦等丙庚
　　戊与辛巳庚两形之比
　　例既皆等于甲巳戊是
　　辛己庚丙庚戊两形之
　　比例亦等矣壬乙丁形
　　与丙丁戊形亦同此论
　　夫辛己庚形之比例既
　　同于丙庚戊壬乙丁形
　　之比例既同于丙丁戊
　　则丙庚与辛己必若丙
　　丁与壬乙又丙丁与丙
　　庚必若壬乙与辛己也今丙丁与丙庚之较为庚丁壬乙与辛己之较为癸乙癸乙与庚丁两较之比例必俱等于相当各线之比例若是则丙庚与辛己戊丙与辛庚皆若庚丁与癸乙矣法置余表六尺为实以十五尺乗之三尺除之是借癸乙与庚丁之比例因辛庚以求丙戊也置窥表距表之五尺为实以十五尺乗之三尺除之是借癸乙与庚丁之比例因辛己以求丙庚也丙戊为表外之髙丙庚则物逺也三十九则
　　重表测广深
　　设谷不知深及广自谷
　　边退行六尺立窥表五
　　尺从窥表望之底角与
　　边角相齐成一直线复
　　于谷边立表一十五尺
　　将前窥表接髙一十八
　　尺共二十三尺从窥表
　　望之底角与表末相齐
　　成一直线求深及广法
　　曰置前窥表五尺为实以表髙一十五尺乗之【得七十五尺】以表【一十五尺】并前窥表【五尺○共二十尺】减后窥表【二十三尺】余三尺除之得二十五尺即谷深又置退行六尺为实以表髙一十五尺乗之【得九十尺】亦以三尺除之得三十尺即谷广
　　解曰与测髙逺同但有纵衡之殊耳
　　四十则
　　测逺之逺
　　设甲至乙八百步甲至丙七百步今自甲向乙行七
　　十二步立表于丁从
　　甲望之乙与表齐自
　　甲向丙行六十三步
　　立表于戊从甲望之
　　丙与表齐俱成直线
　　丁至戊五十四步求
　　乙至丙之逺法曰置
　　甲至丙七百步为实以丁至戊五十四步乗之【得三万七千八百步】以甲至戊六十三步除之得六百步即所求解曰六十三步之与七百步七十二步之与八百步其比例等因知丁戊与乙丙两线必平行凡三角形以与底平行线分之其分形之比例必等于全形甲丁戊既为甲乙丙之分形而丁戊乙丙又平行则甲戊与戊丁必若甲丙与丙乙也又乙丙与戊丁必若甲丙与甲戊也法置七百步为实以五十四步乗之六十三步除之者借甲戊与丁戊之比例因甲丙以求丙乙也○又截法如甲丙七百步则取七步为庚甲乙八百步则取八步为己巳庚六步乙丙必六百【步与乙步之比例也数学钥卷六】

　　步何也皆百
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　数度衍　　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要
　　【臣】等谨案数度衍二十四卷
　　国朝方中通撰中通字位伯桐城人明检讨以智之子也以智博极羣书兼通算数中通承其家学着为是书有数原律衍几何约珠算笔算筹算尺算诸法复条列古九章名目引
　　御制数理精蕴法推阐其义其几何约篇本前明徐光启译本其珠算仿程大位算法统宗笔算筹算尺算采同文算指及新法算书惟数原律衍未明所自大抵裒缉诸家之长而增减润色勒为一编者也其尺算之术梅文鼎谓其三尺交加取数故只能用平分一线其比例规解之本法惜仅见其弟中履但称中通得旧法于豫章而不知其法何如并未获与中通深论又称见嘉兴陈荩谟尺算用法一卷亦只平分一线岂中通所据之法与荩谟同出一源欤盖不可考矣乾隆四十六年十月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官【臣】陆费墀

　　钦定四库全书
　　数度衍卷首上
　　桐城方中通　撰
　　数原
　　勾股原图説

　　一　　股较即勾股较
　　二　　勾较
　　三　　勾
　　四　　股
　　五　　
　　六　　股较与和
　　七　　勾较与和即勾股和
　　八　　勾和
　　九　　股和
　　通曰九数出于勾股勾股出于河图故河图为数之原周髀曰勾广三股修四径隅五天数二十有五之开

　　方也河图之数五十有五中五不用用其五十合勾自之股自之自之之数也勾三阳数也居左和而为八故八与三同位股四隂数也居右和而为九故九与四同位五勾股所求之数也居中勾较得二居上股较得一居下勾较与和为七故七与二同位股较与和为六故六与一同位居中倍为十而倍之之数不可用故洛书不用十也勾股左右両较上下四和四围岂偶然哉勾不尽于三而始于三股不尽于四而始于四不尽于五而始于五较不尽于一二而始于一二和不尽于六七八九而始于六七八九此勾股之原也
　　加减乘除原图

前一：3

后一：5